第4讲 参数方程（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

第4讲 参数方程 (第一种方式) 坐标系的思想是17世纪著名哲学家、数学家笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题中比较系统地提出来的．笛卡儿的工作标志着数学的发展进入了一个新的时代，为牛顿—莱布尼兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础．实际上，坐标系不仅仅是解析几何的基础，也是研究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基础．坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数表示，也可以给出代数问题的几何背景．[来源:学科网ZXXK] T：现在我们这样建立平面直角坐标系，每一个同学对应着第一象限的一个格点，第一排同学的纵坐标是1,第一列同学的横坐标是1，相邻两个同学的间距是1个单位．下面，我就按坐标来提问．首先请(1,2)同学回答你对应的点到原点的距离是多少? S(1,2)： T:请(3,3)同学计算经过你和第一位同学对应的点的直线斜率. S(3,3)：[来源:学科网ZXXK] T：(5,4)同学,你对应的点在刚才两点所确定的直线上吗?为什么? S(5,4)：在!因为刚才两点确定的直线l:即x-2y+3=0经过点(5,4). T：完全正确!下面大家猜猜我该提问谁了? T：回想一下,我第1次喊的是(1,2),第2次喊的是(3,3),第3次喊的是(5,4),那么第4次该论到谁呢?如果猜出来了,大家都向她瞧!(逐渐地,有人把目光投向(7,5)同学,接着她自己站起来了). T：为什么是你呢? S(7,5)：因为点(7,5)在直线x-2y+3=0上. T：该直线上不止一个整点，为什么轮到(7,5)呢?[来源:Z*xx*k.Com] S(2,6)：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是公差为2和1的等差数列.[来源:学科网] S(6,1)：横坐标是连续的奇数,纵坐标是从2开始的自然数.[来源:Zxxk.Com] T：很好！再想一想，为什么第4次轮到(7,5)?照此规律，我第8次又该喊谁呢?请考虑一下横坐标和纵坐标分别与我喊的序号有什么关系? S(4,3)：纵坐标是序号加1,横坐标是第“序号”个奇数. T：能用数学语言来表示吗? S(2,4)：设序号为n,则x=2n-1,y=n+1.也就是说x，y分别是n的函数.在刚才的讨论中,我们发现x与y的关系不明显,但它们都是变量n的函数,而变数n既沟通了x与y的联系,又刻画了动点的运动规律,功不可没!我们还不难发现,当变数n在正整数集合中取值时,点(x,y)的轨迹是直线x-2y+3=0上孤立的点列;当n在实数集合中取值时,点(x,y)的轨迹是直线x-2y+3=0.也就是说，直线l:x-2y+3=0上任意一点的坐标都是某个变数t的函数:并且对于每一个实数t,由方程组所确定的点M(x,y)都在直线l上. (第二种方式) 1．铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为V0，与地面在α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．蜥蜴属于冷血爬行动物，多数的蜥蜴具有四足，后肢肌肉有力，能迅速爬行或改变方向．若一只蜥蜴从P(1,2)出发沿直线爬行，已知它在x轴方向的分速度是0.03m/s，在y轴方向的分速度是0.04m/s.则这只蜥蜴3s后会爬到哪里？ 3．目前世界上最高的摩天轮是北京朝阳公园的朝天轮，它的轮盘直径约198米，地面高度208米，运转一周大约需要30分钟，安装在轮缘上的48个同步旋转的空调轿厢，每个最多可截客40人．若一游客从地面搭乘摩天轮，经t秒后该游客的位置在哪里？ 4．椭圆轨迹是普遍存在的一种天体之间相对运动所遵循的现象．根据牛顿运动定律，物体在受到外力的作用下，会在该力方向上产生一个加速度．又根据万有引力定律，任何有质量物体之间都会相互吸引．所以在力的作用下，天体运行轨迹不会成为标准圆，而大多是椭圆． 根据所学知识，你能否写出椭圆的参数方程？ 5．如图OB是机器的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，长为l，点A在Ox上往返运动，点P为AB中点，当点B绕点O作圆周运动时，那么点P的运动轨迹是什么？ $$ 第4讲 参数方程 1．理解曲线参数方程的有关概念． 2．了解参数方程化为普通方程的意义． 3．掌握参数方程化为普通方程的基本方法． 4．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. 5．掌握圆、圆锥曲线、直线的参数方程． 6．能够根据圆、圆锥曲线、直线的参数方程解决最值、距离、点的轨迹、实际应用等问题. 7．掌握基圆与滚动圆的概念. 8．理解渐开线和摆线的概念. 1．了解曲线的参数方程的意义．(重点) 2．理解参数方程化为普通方程的意义．(重点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法，忽视等价转化是易错点．(难点) 4．掌握圆、圆锥曲线、直线的参数方程并用于解决最值、距离、点的轨迹、实际应用等问题．(难