第5讲 不等式及证明（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

( 第5讲 不等式及证明 ) 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 $$ ( 第5讲 不等式及证明 ) 1. 绝对值三角不等式及其应用 2. 绝对值不等式的解法 3. 不等式证明的多种方法 4. 综合分析法的应用 1.绝对值三角不等式的证明方法 2.绝对值不等式解法的应用 3.综合分析法的应用 绝对值三角不等式 定理1 如果是实数，则（当且仅当_________时，等号成立.） 根据定理，有，就是，。 所以，。 定理2（绝对值三角形不等式） 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当_________时,等号成立. 例1．如果关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习1. 若函数的最小值为3，则实数的值为( ) A. 4 B. 2 C. 2或 D. 4或 练习2. 若存在实数x，使丨x-a丨+丨x-1丨≤3成立，则实数a的取值范围是（ ） A. [-2,1] B. [-2,2] C. [-2,3] D. [-2,4] ______________________________________________________________________________________________________________________ 例2．对于实数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 练习1. 若关于x的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 练习2. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. ______________________________________________________________________________________________________________________ 绝对值不等式的解法 1．与型的不等式的解法 即 不等式的解集是_________; 不等式的解集是_________ 2．,与型的不等式的解法 把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解 不等式的解集为 _________; 不等式的解集为 _________ 例3．不等式|x－3|＋|x－2|≥3的解集是（ ） A. {x|x≥3或x≤1} B. {x|x≥4或x≤2}