第6讲 柯西不等式（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

( 第 6 讲 柯西不等式 ) [来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网ZXXK] 一.本章知识网络结构图 二．柯西不等式与排序不等式本质解读 (1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零．[来源:学科网] (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义． (4)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在． (5)注意等号成立的条件． $$ ( 第6讲 柯西不等式 ) 1. 二维形式的柯西不等式及其应用 2. 一般形式的柯西不等式及其应用 3. 排序不等式 1. 二维形式的柯西不等式的变形形式 2. 一般形式的柯西不等式的变形形式 3. 排序不等式的应用 二维形式的柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当____________时,等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的变式____________. 3. 二维形式的柯西不等式的其它证明方法 证法一：（综合法） . （要点：展开→配方） 证法二：（向量法）设向量，，则，. ∵ ，根据____________与____________关系得到柯西不等式. 证法三：（函数法）设，则 ≥0恒成立. ∴ ____________≤0，即得到柯西不等式. 例1．二维形式的柯西不等式可用（ ）表示． A. a2+b2≥2ab（a，b∈R） B.（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R） C.（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） D.（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） 练习1. 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 A.8　 　　 B.6　　 　C.4　　 　D.2 练习2. 已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（ ） A.3a+2b≤4 B.3a+2b≤ C.3a+2b≥4 D.不确定 ________________________________________________________________________________________________________________________ 例2．函数 的最大值是( ) A. B. C. D. 练习1. 函数的最大值为______.[来源:学科网ZXXK] 练习2. （1）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （2）对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. ________________________________________________________________________________________________________________________ 一般形式的柯西不等式 1.一般形式的柯西（Cauchy）不等式 ______________________________ 2.一般形式的柯西不等式中等号成立的条件是： 当且仅当________________________或____________时成立（k为常数，） 例3．已知x, y, R，且，则的最小值是 A．20 B．25 C．36 D．47 练习1. 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（ ） A. B. C. D. 练习2. 已知，求的最小值． [来源:学科网ZXXK] 练习3. 已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是 ． ________________________________________________________________________________________________________________________ 排序不等式 1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何一个排列，则S1＝____________叫做数组(a1，a2，…，a