第6讲 柯西不等式（演练方阵）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

演练方阵 第6讲 柯西不等式[来源:学科网] ( 二维形式的柯西不等式 ) ☞考点说明：柯西不等式的形式 类型一 二维形式的柯西不等式 【易】1、（2017年春•宁夏银川一中）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8. 【易】2、（2017春•吉林省梅河口五中）证明：如果， ，那么； 【易】3、（2017春•福建省三明市第二中学）已知函数． （1）若，解不等式； （2）若的最小值为3，求的最小值． [来源:学科网] 【中】4、（2017春•广东省中山市第一中学）设，且，则的最小值为______. 【中】5、（2017秋•广东省汕头市金山中学）若，则的最大值为______. 【中】6、（2017春•广东省中山市第一中学）a,b均为正数且的最大值为 ． 类型二 二维形式的柯西不等式的应用 【易】1、（2017春•广东省汕头市金山中学）若均为正实数，并且，求证： 【易】2、（2017秋•江苏省启东中学）已知向量，则__________． 【易】3、（2017春•河南省新乡市延津县高级中学）函数的最大值为_______． 【中】4、（2017秋•广东省汕头市金山中学）已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）的最小值为 ．[来源:Zxxk.Com] 【中】5、函数的最大值为______. 【难】6、已知函数， ，且的解集为. (1)求的值； (2)若，且，求证： . ( 一般形式的柯西不等式 ) ☞考点说明：高维柯西不等式 类型一 一般形式的柯西不等式 【易】1、（2016春•安徽省淮南二中）若，则的最小值为_________． 【易】2、（2016春•河南安阳一中）已知是正实数,且满足.求的最小值。[来源:学科网ZXXK] 【易】3、已知是正实数,且满足.求证： . 【易】4、（2016春•四川省古蔺县中学）已知，且， ，求的取值范围． 【中】5、（2016春•北师大附属中学）设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.[来源:Z.xx.k.Com] （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求证： ． 【中】6、（2016春•甘肃省西北师大附中）已知都是实数，且. （Ⅰ）证明； （Ⅱ）若，证明. 【中】7、（2016春•河北衡水中学）已知 （1）求的最小值及取最小值时的值。 （2）若，求的取值范围。 【难】8、（2016春•江苏省苏州市大联考）（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2）已知正数满足，求的最小值. ( 排序不等式 ) ☞考点说明：排序不等式应用 类型一 排序不等式的应用 【易】1、（2016春•广东揭阳高二联考）设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥ 【易】2、（2016春•山东省淄博市第一中学）已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）． 【易】3、（2016春•浙江省高考省教研室）若a，b，c为正数，则＋＋的最小值为________． 【中】4、（2016春•江苏省苏州市大联考）已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：≥≥； 【中】5、（2016春•甘肃高台县一中）已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋. 【难】6、（2016春•全国百套名校高二数学模拟试题）已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≥(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 【难】7、（2016春•全国百套名校高二数学模拟试题）设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10. 【难】8、设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证： (1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)； (2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc. $$ 演练方阵 第6讲 柯西不等式 ( 二维形式的柯西不等式 ) ☞考点说明：柯西不等式的形式 类型一 二维形式的柯西不等式 【易】1、（2017年春•宁夏银川一中）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8. 【答案】见解析 【解析】由柯西不等式可得： ， 因为所以，因此. 【易】2、（2017春•吉林省梅河口五中）证明：如果， ，那么； 【答案】见解析 【解析】 ∵， ，∴，∴． 【易】3、（2017春•福建省三明市第二中学）已知函数． （1）若，解不等式； （2）若的最小值为3，求的最小值． 【答案】（1）；（2） . 【解析】（1），左式可看作数轴上；点到-2和1两点的距离之和， 当或2时，距离之和恰为5，故；解集为.