第7讲 线性变换与二阶矩阵（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

( 第 7 讲 线性变换与二阶矩阵 ) 1.了解二阶矩阵的概念. 2.了解矩阵与向量的乘法的意义,会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法. 3.理解矩阵变换把平面上的直线变为直线点. 4.了解几种常见的平面变换:伸缩变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换. 1. 几类特殊的线性变换是重难点． 2. 矩阵与向量的乘法是重点.[来源:学科网] 3. 几何代数之间的联系是难点. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1．线性变换的相关概念 (1)我们把形如(*)的几何变换叫做 ，(*)式叫做这个线性变换的 ，P′(x′，y′)是P(x，y)在这个线性变换作用下的像． (2)我们引入正整数表，那么可以由此二阶矩阵唯一确定,反之也有该线性变换唯一确定 (3)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P，都有σ(P)＝ρ(P)，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A，B，则 . 2．矩阵的相关概念 (1)由4个数a，b，c，d排成的正方形数表 称为二阶矩阵，数a，b，c，d称为矩阵的 ．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫 ，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示． (2)二阶矩阵 称为 ，简记为0，矩阵 称为二阶单位矩阵，记作E2 3．几种常见的变换 (1)恒等变换 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都能把自身变成 .因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E. (2)伸压变换 矩阵M1＝把平面上每一个点P都沿 方向 为原来的 ，只有 上的点没变； 矩阵M2＝把平面上每一个点P都沿 方向 为原来的 ，只有 上的点没变.[来源:学*科*网] 像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向 或 ，或作沿x轴方向 或 的变换矩阵，通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称 . (3)反射变换 1)反射变换的概念 像，，这样将一个平面图形F变为关于 或 对称的平面图形F′的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换. 关于 或 对称的反射又分别称为 和中心反射，其中 称为反射轴， 称做反射点. 2)反射变换的分类 与矩阵M1＝对应的变换是关于 的轴反射变换. 与矩阵M2＝对应的变换是关于 的轴反射变换. 与矩阵M3＝对应的变换是关于 的中心反射变换. 与矩阵M4＝对应的变换是关于 的轴反射变换. (4)旋转变换 1)旋转变换的定义：将一个图形F绕某个 旋转角度 所得图形F′的变换称为旋转变换，其中点 称为旋转中心， 称为旋转角. 2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为 . 3)旋转变换的特点： ①旋转变换只改变几何图形的 ，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中 . ③图形的旋转由 和 所决定. ④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作 变换. (5)投影变换 1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为 . 2)投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到