第10讲 特征向量（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

第10讲 特征向量 [来源:Zxxk.Com] (第一种方式)[来源:学_科_网Z_X_X_K] 矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。 一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。 ——刘徽 (第二种方式) 一个有趣的例子理解特征概念 [来源:Z§xx§k.Com] 一个物理系统，其特性可以被一个矩阵所描述，那么这个系统的物理特性就可以被这个矩阵的特征值所决定，各种不同的信号（向量）进入这个系统中后，系统输出的信号（向量）就会发生相位滞后、放大、缩小等各种纷乱的变化。但只有特征信号（特征向量）被稳定的发生放大（或缩小）的变化。如果把系统的输出端口接入输入端口，那么只有特征信号（特征向量）第二次被放大（或缩小）了，其他的信号如滞后的可能滞后也可能超前同时缩小，放大的可能被继续放大也可能被缩小同时滞后，缩小的可能被继续缩小也可能被放大同时滞后等。经过N次的循环后，显然，乱七八糟的大量的向量群众们终不能成气候，只有特征向量们，心往一处想，劲往一处使，要么成功出人头地，要么失败杀身成仁。因此我们就可以因此在时间域上观察输出，就会得到一个或几个超级明显的特征信号出来（特征向量）。 $$ ( 第 10 讲 特征向量 ) 1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). 3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单的表示,并能用它来解决问题. 4.会利用特征向量解决简单的实际问题. 1. 特征值与特征向量的定义是基础. 2. 特征值与特征向量的计算难点. 3. 特征向量解决实际问题是重点. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的定义 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ＝ ，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量. 2.特征多项式的定义 设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式. 3.从几何意义上解释:记矩阵A对应的线性变换为σξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,即σξ=λξ,由于向量ξ与λξ是共线的,因此,等式σξ=λξ表示线性变换σ把特征向量ξ变成了共线的向量λξ.当λ>0时,所得的向量λξ与特征向量ξ的 ;当λ<0时,所得的向量λξ与特征向量ξ的 ;当λ=0时,所得的向量为 . 4.特征向量的性质 设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,kξ也是矩阵A的属于特征值λ的 .属于矩阵的不同特征值的特征向量 . 例1. 从几何直观上,求下列线性变换的特征值和特征向量. (1)关于y轴的反射变换 (2)伸缩变换 练习1.特征值与特征向量的几何意义如何？ 练习 2.特征值与特征向量有怎样的对应关系？ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 特征值与特征向量的计算 1.特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为： 第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝λ2－(a＋