第10讲 特征向量（演练方阵）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（选修4）

演练方阵 第10讲 特征向量 ( 特征值与特征向量 ) ☞考点说明：特征值与特征向量是基本考点 类型一 特征值与特征向量定义 【易】1．设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为 ，而α称为A的属于特征值λ的 .注意，特征值与特征向量一定要强调它们的对应关系，一个特征值对应的特征向量并不唯一，它有无穷多个特征向量. 【易】2.设A=是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)==称为A的特征多项式.若λ是f(λ)=0的一个根，则λ是A的，用这种方法可以把A的特征值全部求出来. 【易】3.写出求矩阵特征向量和特征值的步骤： 【易】4.向量在矩阵变换下（ ） A.改变了方向, 长度不变 B.改变了长度, 方向不变[来源:学_科_网] C.方向和长度都不变 D.以上都不对 【易】5.下列对于矩阵A的特征值λ的描述正确的是 ( ) A.存在向量α, 使得Aα=λα B.对任意向量α, 有Aα=λα C.对任意非零向量α, Aα=λα成立 D.存在一个非零向量α, 有Aα=λα 【易】6.已知A＝，则矩阵A的特征多项式为________. ( 特征值与特征向量的计算 ) ☞考点说明：求特征向量与特征值的计算是基本考点 类型一 求特征向量与特征值 【易】1.求矩阵M＝的特征值和特征向量. 【易】2.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么? 【易】3.已知矩阵M＝的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 【易】4.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝. (1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝是矩阵M的特征向量吗？为什么？ [来源:学科网ZXXK] 【易】5.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝. ①求矩阵A； ②求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【中】6.已知矩阵A＝. (1)求矩阵A－1； (2)求逆矩阵A－1的特征值及特征向量； (3)对任意向量α＝，求(A－1)20α. 【中】7.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值. 【中】8.已知二阶矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵A. 【中】9.设矩阵M＝. (1)求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)求矩阵M的特征值. 【难】10.已知二阶矩阵M的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程. 类型二 由特征值特征向量求参数 【易】1.设是矩阵M=的一个特征向量，求实数a的值. 【易】2.矩阵A 【易】3.设二阶矩阵MM的属于特征值λ=1的一个特征向量,则矩阵M可以是　　　　　.  【易】4.已知矩阵A=的属于特征值λ的一个特征向量为α=. (1)求实数b，λ的值； (2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C'：x2+2y2=2，求曲线C的方程. 【中】5.已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M. 【中】6.已知α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M＝，α＝，且a＋b＋m＝3，求a，b，m的值. 【中】7.已知矩阵M=满足Mαi=λiαi，其中λi(i=1，2)是互不相等的实常数，αi(i=1，2)是非零的平面列向量，λ1=1，α2=，求矩阵M. ( 特征向量的实际应用 ) ☞考点说明：特征向量的实际应用是基本考点 类型一 根据A，α计算Anα(n∈N*) 【易】1.已知AA2 016α为(　　) A 【易】2.已知AA100α为(　　) A 【易】3.已知矩阵A的一个特征值为2,对应的特征向量为αA10α=　　　　. [来源:学&科&网] 【易】4.已知MMnα=t1·2nξ1+t2· 【中】5.求矩阵M=的特征值和特征向量，并计算M8的值. 【中】6.已知矩阵M=，β=，计算M6β. 【中】8.已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3) (1)求实数a的值； (2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【难】9.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵. 【难】10.已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90