专题07 函数的周期性与对称性-2021年高考数学函数与导数大通关（新高考地区专用）

专题07 函数的周期性与对称性 序号 函数满足的条件 函数f(x)的图像 对称轴（中心） 自 对 称 轴对称 (1) f(x)=f(-x) x=0,偶函数 (2) f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x) x=a (3) f(a+x)=f(b-x) x= (4) f(a+wx)=f(b-wx) x= 中心对称 (5) f(x)=-f(-x) (0,0),奇函数 (6) f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x)或f(-x)=-f(2a+x) (a,0) (7) f(a+x)=-f(b-x) (,0) (8) f(a+x)+f(b-x)=c (,) 互对称 轴对称 (9) 函数y=f(x)与函数y=f(-x)的两个函数的图像 y轴 (10) 函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的两个函数的图像 x= (11) 函数y=f(a+wx)与函数y=f(b-wx)的两个函数的图像 x= (12) 函数y=f(x)与函数y=f-(x)的两个函数的图像 y=0 (13) 函数y=f(x)与函数y=f-(x)+b的两个函数的图像 y= (14) 函数y=f(x)与函数y=的两个函数的图像 y=x 中心对称 (15) 函数y=f(x)与函数y=-f-(x)的两个函数的图像 (0,0) (16) 函数y=f(x)与函数y=f-(a-x))的两个函数的图像 (,0) (17) 函数y=f(x)与函数y=f-(a-x)+b的两个函数的图像 (,) 记忆方法：自对称找中点，互对称让两式子中( )的值相等。 一个函数求平均，两个函数解方程。求一相加除以二，求二相等解方程。 函数周期性一些结论 序号 函数满足的关系式(xR) 周期 (1) f(x)=f(x+T) T (2) -f(x)=f(x+T) 2T (3) f(x+T)= , f(x+T)= - 2T (4) f(x+T)= f(x-T) 2T (5) f(x+a)= f(x+b)或f(x-a)= f(x-b) (6) f(x+T)= -f(x-T) 4T (7) 2a (8) 2(b-a) (9) 2a (10) 2(b-a) (11) 4a (12) 4a (13) 4(b-a) 关于函数周期性与对称性的记忆方法： (1) (2) 限时训练 1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）. A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负. 2．在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B ) A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是增函数 3.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 4．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.___________ 5．已知函数，则，，，…，中最多有（ ）个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199 6.已知，，，…，，则（ ）. A. B. C. D.3 7.函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 . 8．设函数为奇函数，则（ ） A．0 B．1 C． D．5 9． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ） A.； B.； C.； D. 10．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ） A. B. C. D. 11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数；(