专题03 常用逻辑用语（1）（命题，充分条件与必要条件）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题03 常用逻辑用语（1） 命题，充分条件与必要条件 知识梳理 一、命题的概念 1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 3、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。 相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。 4、如果，并且，那么就说与等价，记作。 二、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 ，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。 2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题、的否定分别记作、。 4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。 5、四种命题形式及其相互关系: 6、常见结论的否定形式：（拓展内容） 原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 不是 至少有一个 没有 都是 不都是 至多有一个 至少有二个 大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个 小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个 对所有的成立 存在不成立 或 非且非 对任何的不成立 存在成立 且 非或非 三、充要条件 1、充分条件与必要条件： 一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。 2、充要条件： 如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。 例题解析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵是个很大的数；⑶；⑷；⑸； 【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：，方程无实根. （4） （5）人类在2020年登上火星. 【例3】下面有四个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例4】下列判断中正确的是 ( ). A. “12是偶数且是18的约数”是真命题 B. “方程没有实数根”是假命题 C. “存在实数x，使得且”是真命题 D. “三角形的三个内角的和大于或等于”是假命题 【例5】对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”： ．给出下列三个命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【巩固训练】 1、 判断命题真假：如果，那么 （ ） 2、 若和都是假命题，则的范围是__________ 3、已知 ①② ③④，其中真命题的序号是 4、下面有四个命题：①集合中最小的数是；②若不属于，则属于；③若则的最小值为；④的解可表示为.其中真命题的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、命题的四种形式及其关系 【例6】命题“若，则”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______ 【例8】写出命题“若都是偶数，则是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”； ⑵“若和都是偶数，则是偶数”； ⑶“当时，若，则”； ⑷“若，则且”； 【例10】已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【巩固训练】 1、有下列四个命题： ①“若，则互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 2、原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）个． A．