专题01 截长补短模型证明问题(提升训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题01 截长补短模型证明问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． [来源:学#科#网] 2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由． 3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由． [来源:Zxxk.Com] [来源:Zxxk.Com] 4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D， 求证：AB＝AC＋CD.[来源:Z.xx.k.Com] [来源:学§科§网] 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：AC＝AE＋CD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题01 截长补短模型证明问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． [来源:Z#xx#k.Com] 证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.[来源:Zxxk.Com] ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB. ∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°. ∴∠EOB＝∠DOC＝60°. ∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°. ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCO＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO.[来源:学科网ZXXK] ∴CD＝CF. ∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.　 2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由． 解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE. ∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB， ∴EF＝DE. ∵DE＝CE， ∴EC＝EF. ∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)． ∴BF＝BC 同理可证：AF＝AD. ∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.　 3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由． 解：线段AB，CD和线段BC的关系是： BC＝AB＋CD. 理由：在△DCE中， ∠EDC＋∠DEC＝90°， ∵∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠AEB＝∠EDC， 又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°， ∴△ABE≌△ECD(AAS)， ∴AB＝EC，BE＝CD， ∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB. 4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD. 证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图， ∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD. ∴△ABE≌△FBE(SAS)， ∴∠A＝∠BFE， ∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°， ∴∠BFE＋∠D＝180°. ∵∠BFE＋∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝∠D. ∴△CDE≌△CFE(AAS)， ∴CF＝CD. ∵BC＝BF＋CF， ∴BC＝AB＋CD. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D， 求证：AB＝AC＋CD. 证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE. 则∠E＝∠CDE＝45°， ∴∠B＝∠E. ∵AD平分∠BAC，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴∠1＝∠2， 在△ABD和△AED中， ∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(AAS)． ∴AE＝AB. ∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD， ∴AB＝AC＋CD. 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：AC＝AE＋CD.[来源:学科网] (1)解：∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－＝120°； (2)证明：∵∠AOC＝