专题02 倍长中线模型构造全等三角形-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题02 倍长中线模型构造全等三角形 【专题说明】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【知识总结】 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 1、 如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。 解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE, ∵D为AC中点 ∴AD=DC, 在△ABD和△CED中， BD=DE, ∠ADB=∠CDE AD=CD ∴△ABD≌△CED（SAS） ∴EC=AB=10 在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC 10-6＜BE＜10+6 ∴4＜2BD＜16 ∴2＜BD＜8 2、如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴∴ 在中， ∴． 3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】详见解析 【分析】 延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可． 【详解】 如图，延长至点，使得，并连结， ∵是三角形的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形． 4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF. 解析： 延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH, ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC ∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线 ∴∠1=∠4=∠ADB,∠3=∠5=∠ADC 又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2 ∴∠4+∠5=∠2+∠3=90° ∴△EFD≌△HFD（AAS） ∴EF=FH 在△BDE和△CDH中， DE=DH ∠1=∠2 BD=DC ∴△BDE≌△CDH（SAS） ∴BE=CH 在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH ∵CH=BE,FH=EH ∴BE+CF＞EF. 5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？ 解析： 连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG, ∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G 在△DFC和△BDG中， ∠DFC=∠G ∠FCD=∠DBG BD=CD ∴△DFC≌△BDG(AAS) ∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB 又∵ED⊥FD,∴EF=EG ∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90° ∴△EBG为直角三角形 ∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$