专题03 一线三垂直模型构造全等三角形(基础训练)-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形 1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. [来源:Z|xx|k.Com] [来源:学+科+网Z+X+X+K] 2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点 . 如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN. 在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______ 3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：BE=DF. [来源:学*科*网] [来源:学科网ZXXK] 5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC 证明：AB+AE=BC [来源:Z,xx,k.Com] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题03 一线三垂直模型构造全等三角形 1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. 解析：[来源:Z.xx.k.Com] (1)过点B作BD⊥x轴于点D, ∴∠BCD+∠DBC=90° 由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90° ∴∠BCD+∠AC0=90° ∴∠DBC=∠ACO 在△BCD和△CAO中 ∠BDC=∠AOC ∠DBC=∠ACO[来源:Z+xx+k.Com] BC=AC ∴△BCD≌△CAO ∴CD=OA,BD=OC (2)的证明方法一样 2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点 . 如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN. 在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______ 解析： （1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C， ∴PB=PC 在Rt△PBM和Rt△PCN中 PB=PC PM=PN ∴Rt△PBM≌Rt△PCN ∴BM=CN （2）在Rt△PBA和Rt△PCA中 PB=PC AP=AP ∴Rt△PBA≌Rt△PCA ∴AB=AC ∴AM+CN=AM+BM=AB=AC 3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 解析： ∵∠B=40°[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴∠BAD+∠BDA=140° ∵∠ADE=40° ∴∠CDE+∠BDA=140° ∴∠BAD=∠CDE 在△ABD和△DCE中 ∠B=∠C ∠BAD=∠CDE AB=DC ∴△ABD≌△DCE 4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：BE=DF. 解析： 过点D做DG∥AC交BE的延长线于点G BE与DH的延长线交于G点，如图， ∵DH∥AC ∠BDH=∠C=45° ∴△HBD为等腰直角三角形 ∴HB=HD 而∠EBF=22.5° ∵∠EDB=∠C=22.5° ∴DE平分∠BDG 而DE⊥BG ∴BE=GE,即BE=BG ∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90° ∴∠DFH=∠G ∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G ∴∠GBH=∠FDH 在△BGH和△DFH中 ∠G=∠DFH ∠GBH=∠FDH BH=DH ∴△BGH≌△DFH(AAS) ∴BG=DF ∴BE=FD 5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC 证明：AB+AE=BC 【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M 证△BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD ∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD[来源:学科网] ∴AB=BD ∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）[来源:学|科|网Z|X|X|K] （2）AB+AE=BD+DC=BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$