第七讲 函数的单调性-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版必修一）

第七讲 函数的单调性 【学习目标】 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点). 2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)． 知识点1　增函数与减函数 知识点2　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 题型一　求函数的单调区间 例1、(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数． (2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． (1)解析　观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数． 答案　[－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3] (2)解　y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 规律方法　根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象； (2)把函数图象向x轴作正投影； (3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】　函数y＝的单调减区间是________． 解析　y＝的图象可由函数y＝的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)． 答案　(－∞，1)，(1，＋∞) 题型二　证明函数的单调性 例2、证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数． 证明　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). 因为2<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． 所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． 规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤 【训练2】　证明函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数． 证明　设x1，x2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1<x2<0