第二讲 全等三角形的综合应用-2020-2021学年八年级上册数学讲义（苏科版）

第二讲 全等三角形的综合运用 一、典型例题 【考点1 动点问题】 【例1】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）用含t的式子表示PC的长为　 　； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？ 【答案】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t； 故答案为（12﹣2t）cm． （2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米， ∵BD＝8厘米． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米， ∴PC＝12﹣4＝8厘米， ∴PC＝BD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD和△CQP中，， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ③∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm， ∴点P，点Q运动的时间t3秒， ∴VQ厘米/秒． 即点Q的运动速度是厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等． 【考点2 角分线上点向角两边作垂线构全等】 【例2】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°． 【答案】证明：如图，过点P作PH⊥AB于H， ∵BP平分∠ABC，PD⊥BC， ∴PD＝PH， 在Rt△BDP和Rt△BHP中， ， ∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL）， ∴BD＝BH， ∵BF+BE＝2BD， ∴BD﹣BF＝BE﹣BD， 即BH﹣BF＝BE﹣BD， ∴FH＝DE， 在△ODE和△PHF中， ， ∴△ODE≌△PHF（SAS）， ∴∠BEP＝∠PFH， ∵∠BFP+∠PFH＝180°， ∴∠BFP+∠BEP＝180°． 【考点3 截取法构全等】 【例3】已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC． 【答案】证明：在BC上截取BE＝BA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△BAD和△BED中，