专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+17道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+17道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）    A． B． C． D．、互相平分 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    3．（22-23七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略．例如图，中，是的平分线，交的延长线于点．如图，延长、交于点，即可构造出轴对称图形，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路． 迁移应用： 如图，中，若，，是的角平分线交于点，垂足为点．若，求的长． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 1．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的度数． 1．（2023·重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 1．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 2．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 3．（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）在中，，，则边上的中线的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 1、如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 3、（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____． 1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 2．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 3．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______． 3．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 4．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 5．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 6．（2022·福建·福州九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 8．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 9．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 10．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出 （1）如图1，四边形ABCD中，，与互补，，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积． 问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，，，，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，，，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为，求与之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值． 12．（2023·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 13．（2023·江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 14．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 15．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在四边形中，于，，. 求证：；. 16．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）在中，、分别平分和，和相交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，求证：． 17.（2023.成都八年级期中）如图，在中，，，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+17道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长 【答案】A 【分析】过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）    A． B． C． D．、互相平分 【答案】D 【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断． 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上， ∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC， 只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE； 只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确； ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC， 而AD=CE， ∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴OD=OE，OA=OC 即AC、 DE互相平分，所以D选项的结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）方法一：作于点，得四边形是长方形，所以，证明，得出，则，即可得出结论； 方法二：连接．根据的面积的面积的面积，即可得出结论． （3）根据（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：． 在和中    ∵ ∴， ∴． （2）方法一： 如图2，作于点，得四边形是长方形，所以．    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中 ∵ ∴， ∴． ∵，∴． 方法二：连接．    ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接． ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定, 根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， 添加时，则可利用证明， ， ，， 即， ，故A正确； 添加时，可得，， ， ，故B正确； 添加时，如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵和关于直线对称． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略．例如图，中，是的平分线，交的延长线于点．如图，延长、交于点，即可构造出轴对称图形，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路． 迁移应用： 如图，中，若，，是的角平分线交于点，垂足为点．若，求的长． 【答案】14 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，延长，交于点，先证明得出，然后证明得出，即可求出． 【详解】解：延长，交于点，如图： ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ， ，， ， ，即， ． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三边关系判断④． 【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，①正确； ∵EA与DA不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误； ∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△AED和△AEF中， ∴△AED≌△AEF，③正确； ∵△ADC≌△AFB， ∴BF＝CD， ∵BE＋BF＞DE ∴BE＋DC＞DE，④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键． 2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 【答案】探究：证明过程见详解；应用：，理由见详解；拓展： 【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点， ∴点三点都在直线上， ∴，，∴， 在，中，，∴； 应用：∵，三点都在直线上，， ∴，，∴， 在，中，，∴，∴， ∵，∴； 拓展：由探究可知，，， ∴，设，则， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键． 1．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【分析】(1) ∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，可得答案；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，同（1）中的方法，可证△ABC≌△CED，可得答案；（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，可得AE＝4，进而可得CE=2，同（1）中证法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性质可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，属于类比探究类的题目，掌握模型思想，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25，25，65，小 (2)当时，，理由见解析； (3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【分析】（1）先求出的度数，即可求出的度数，再利用三角形的外角性质即可求出的度数，根据点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当时等腰三角形，只存在或两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； ∵点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，， ∴点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：25，25，65，小； （2）解：当时，， 理由：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （3）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形， 理由：∵，，∴， ∴当时等腰三角形，只存在或两种情况， 当时，∴， ∵，∴，∴； 当时，∴，∴， 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到__________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】(2)如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； 【深入探究】(3)如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有__________（填“＞、、＜”） (4)如图，点、、、、都在同一条直线上，四边形、、都是正方形，若该图形总面积是16，正方形的面积是4，则的面积是__________． 【答案】(1)DE(2)见解析(3)(4)2 【分析】（1）利用全等三角形对应边相等，可知；（2）分别过点和点作于点，于点．利用“字”模型证，，同理得出，推出．再证明，推出，即可证明点是的中点；（3）过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M．先证，，推出，，．再证，推出，再通过等量代换证明；（4）同（3）可证， ，由勾股定理解直角可得，等量代换可得，可知，由此可解． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）证明：分别过点和点作于点，于点， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，，， ∴，∴，同理可证，∴． ∵，，∴， 在和中，，，， ∴，∴，即点是的中点； （3）解：如图所示，过点D作交AF于O，过点E作交OD延长线于N，过点C作交OD延长线于M． ∵四边形与四边形都是正方形，∴，，， ∵，，∴，，， 又∵，∴， 在和中，，，， ∴，∴，． 同理可以证明，∴，，∴． 又∵，，，∴，∴， ∵，， ∴，∴，即； （4）解：同（3）中的方法可以证明，且， ． 由勾股定理得：，∴，∴， ∵图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查“字”模型的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握“字”模型和类比推理思想． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解． 【详解】解： ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ． ∵， ∴ 故选：B． 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到，即可证明，可得，，根据，即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6.5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可求解； （2）利用证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵①号正方体边长为，③号正方体边长， ∴，，， ∵②号正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6.5； （2）解：， 理由：由题意知：，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，．．． 在和中，，． （2）解：如图， ，，为等边三角形．， ，．． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． 1．（2023·重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，，，， ，即，所以①正确； 在和中，， ，所以②正确；， ∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正确．故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，是等边三角形， ， ∵，，，， 与的面积之和为．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键． 3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，易证，故①正确；证明是等边三角形，故②说法正确；由勾股定理的逆定理可证得，结合等边三角形性质，有，故，③说法正确；由直角三角形和等边三角形的性质，可得，④说法错误；将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，连接OD，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E，根据判断④的方法，判断⑤说法正确． 【详解】解：∵将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴，， ∵正△ABC，∴，，∵， ∴，即， 在与中，∵，∴， 故可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①说法正确，符合题意；如图1，连接 ∵，，∴是等边三角形， ∵，∴．故点O与O′的距离为4，②说法正确，符合题意； ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵．故③说法正确，符合题意； 如图2，过作于点， ∵是等边三角形，，，∴，∴． ∵，，，∴． ∵，，，∴． ∴．故④说法错误，不符合题意； 将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，连接OD，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E， ∵将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，∴，， ∵正△ABC，∴，，∵， ∴，即， 在与中，∵，∴， ∴． ∵，，∴是等边三角形． ∵，∴易求． ∵是等边三角形，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴． ∵，，∴． ∴． ∵，，∴，∴． ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴．故⑤说法正确，符合题意； 综上，正确的说法有①②③⑤，故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定，等边三角形性质以及勾股定理以及逆定理，综合运用以上知识是解题的关键． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF， ∵F是BC的中点，∴AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2， ∴DE＝，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 1．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由题意易得，则有，然后可证，则有，设，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴，∵绕点顺时针旋转90°得到， ∴，∴点G、B、E三点共线， ∵，∴，∵AE=AE，∴，∴， 设，则有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得， 即，解得：，∴；故答案为5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 2．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3)， 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式；（2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可；解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，∴；故答案为：； （2）关系式仍然成立．证明：将沿直线对折，得，连接 ∴，∴，， 又∵，∴，∵， ，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，∴在中，，即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得．∴．∴． 若使为等腰三角形，只需，即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 3．（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而得到，由全等三角形的性质可得，即可解答；（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，进而证≌，得到，即可求出和，再根据勾股定理即可解答；（3）用的方法，分类讨论是等腰的腰长，求出：的值即可． 【详解】解：（1）把绕点顺时针旋转得到，可知：，，， ，， 在和中，≌，， ，，故答案为；． （2）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转60°，得到△ABF，连接DF，过点F作FG⊥BC，交CB的延长线于点G，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC， ∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°， 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°， ∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，FG＝=， ∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴线段DF的长为． （3）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，连接DG，过点D作DH⊥BG，交BG的于点H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE为顶角，则∠ADE=30°， ∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°， ∴由旋转性质得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°， ∵将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°， ∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°， 在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°， ∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE， 在Rt△BHD中，设HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=， ∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3； 如图将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABM，连接DM，过点M作MN⊥BD，交BD于点N， ∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，∠E为顶角，∴∠E=30°， ∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°， ∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋转性质可知△ABM≌△ACE， ∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE， 在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM， ∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°， ∴在Rt△BNM中 ，设MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a， 由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至点E，使，连接，利用证明，得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵是上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关系． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）在中，，，则边上的中线的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 【解答】解：（1），理由如下： 如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点， ，，，， 又，，， 在和中，，，； （2），理由如下：连接，如图③所示： 同（1）得：，， ， 1、如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 【答案】（1），证明详见解析；（2）， 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，平分，∴， ∵，∴ ，∴是等边三角形，∴； （2）过点作，， ∵平分，∴，， ∵，∴∠QPH＝60°，∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ， ∵，，平分，∴， ∴，＝，∴＝， ∴四边形的面积＝＝ 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°， ∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC， ∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°， ∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE （2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE． （3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC． 理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴． ②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC， 如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°， ∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC； 在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC， 如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°， ∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC； 3、（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，，∴， ∴．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键． 1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案. 【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中，， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键． 2．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数． 【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF， 又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°． 【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 3．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中， ∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数； ②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①，②BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解． 【分析】（1）①由题意易得∠ABC=∠ACB=45°，则有∠CBD=∠ABD=22.5°，进而可求∠ECD=∠DBA，则问题得解；②由题意易得CE=EF，则可证△ABD≌△ACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解； （2）在BE上截取BH=CE，连接AH，则易证△BHA≌△CEA，则有AE=AH，∠BAH=∠CAE，进而可得∠HAE=90°，然后根据线段的数量关系可求解． 【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°， ①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°； ②BD=2EC，理由如下：如图所示： ∵，∴∠CEB=∠FEB=90°， ∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE， ∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA， ∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE； （2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图， 由（1）易得∠HBA=∠ECA， ∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE， ∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°， ∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE， ∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC =∠EDC，∴CD=CE， ∵，，∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，证明，进而根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线，， 在和中，，，， ，，， 的取值范围是：．故答案为：． 【点睛】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 【答案】100°/100度 【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM， ∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°， ∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°， ∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°， ∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_______； (2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____； (3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)①，理由见解析；② 【分析】（1）由全等得到边长关系即可． （2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标． （3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系． 【详解】（1）由等腰直角得，， 又， 又， ， （2）过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，， 又得，，， ， （3）① 又，， ②与①中同理可得 分别取，中点，连接． ，, 又 又 在与中 ， 【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键． 5．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF； ②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD； ③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长． 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中 ∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中 ∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC ∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜ ∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中 ∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示 ∵四边形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC ∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜ ∵AD⊥x轴，CE⊥x轴∴∠CEO=∠ADO =90゜ ∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD 在△COE和△OAD中 ∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD ∵∴OD=1，∴CE=1， ∵点C在第二象限∴点C的坐标为故答案为：； （3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． 6．（2022·福建·福州九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 【答案】## 【分析】根据旋转可得AD=AE， ∠DAE=60°，进而得出△ADE为等边三角形，则DE=AD，根据“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得CD=BE，而△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD，当AD⊥BC时，AD最小， △BED的周长最小，然后求出AD的最小值即可解答． 【详解】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD， ∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4， ∴∠BAC=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△ABE，∴CD=BE， ∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD， ∴当AD最小时，△BED的周长最小， 当AD⊥BC，时，AD最小，过A作AM⊥BC于M， ∴BM=BC=2，∴AM=，∴AD的最小值为， ∴△BED的周长最小值是4+．故答案为：4+． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将求△BED的周长最小值转化求AD的最小值是解题的关键． 7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；（3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE； （2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE， ∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF， 又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE； （3）解：PE=AP+PD，理由如下： 如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA， 又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO， ∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°， ∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°， 又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键． 8．（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明； （2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果； （3）根据已知条件证明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE， ∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即， ∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2． 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS）． 所以BD=CE，∠DBA=∠ECA． 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°． 即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°． 所以BD⊥CE．综上所述：BD=CE且BD⊥CE． （3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 由图可知，AD=AB，AE=AC， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即， ∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE=CD，， 又∵，∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，    ∴∠PBC+∠PCB=60°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键． 9．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．从而得出EF=GE； （2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF． 【详解】（1）延长至，使，连接， ∵，，∴≌， ∴，，∴，∴， 在和中，∵，∴≌，∴， ∵，∴．故答案为： （）（）中的结论仍成立，证明：延长至，使， ∵，，∴， 在和中，，∴≌，∴，, ∵，∴，∴即， 在和中，，∴≌，∴，即． （），证明：在上截取使，连接， ∵，，∴， ∵在和中，，∴≌，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴≌，∴， ∵，∴． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形. 10．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______； (2)如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______； (3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA=CB+CD； (4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______． 【答案】(1)(2)(3)①证明见解析；②证明见解析(4) 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义和四边形内角和定理可知对角互补四边形两组对角都互补，再根据比例关系，依次即可求得∠B，∠C的度数，由此可求∠A的度数； （2）先根据对角互补四边形的定义证明，从而利用边角边可证明，可得AC=AM，再根据角的数量关系求得，从而可得△ACM是等腰直角三角形，继而可证得平分，根据等腰直角三角形的性质和线段的数量关系可得CB、CD、CA三者关系； （3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，求出，即可证明；②由①中全等三角形对应边相等，再根据线段的数量关系直接可证明； （4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）四边形为对角互补四边形，， ，， ∴ ，故答案为：； （2）∵，∴， 又∵∴， 又∵，∴（SAS） ， ， ∴， ∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°， ∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分，， ，，故答案为：； （3）①延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ，， ，， ，， ，，是等边三角形，， ，，，平分； ②，，，； （4）延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形，，， ，，，， ，，，， 过点作交于点，为的中点，， 在中，，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线作出全等三角形是解题的关键． 11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出 （1）如图1，四边形ABCD中，，与互补，，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积． 问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，，，，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，，，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为，求与之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值． 【答案】（1）255；（2）； 【分析】（1）连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG，则利用进行求解； （2）连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H，证明，由此表示出，再利用三角函数表示出高，从而表示出与的函数关系式，并求得的最大值． 【详解】解：（1）如图，连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG． 由，得， ∵△ADG是由△ABH旋转得到，∴， ∴， ，， 又，，即，，三点共线． ∴，， ∴． （2）如图，连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H． ∵且，∴△BAC为等边三角形，，． ∵，，∴△EAD为等边三角形，，． ∵，，∴． 在△BAE和△CAD中，，∴， ∴．即．又∵，∴． 在Rt△DCH中，． ∴△ECD的面积为：． 当时，y有最大值，此时△ECD面积最大值为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角函数的应用，求二次函数的最大值，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理． 12．（2023·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 【答案】4.5 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE， ∴∴ cm2，故答案为4.5． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 13．（2023·江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 【答案】2 【分析】根据题意延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=EF，根据等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与BD相等的线段CF． 14．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于， ∵平分，，∴，为公共边， ∴，∴， ∵，∵，∴， ∴在，中，， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明． 15．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在四边形中，于，，. 求证：；. 【答案】详见解析 【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论. 【详解】如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°， ，OC=OC，，，， ，，，，， ∵，， . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键. 16．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）在中，、分别平分和，和相交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，利用三角形的内角和定理可求解∠ABD+∠BAD=70°，即可求得∠ABC+∠BAC=140°，结合三角形的内角和定理可求解．（2）过点作于，于，于，由角平分线的性质定理得，从而可得结论；（3）延长至，使，连接，据AAS证明，得，进一步可得出结论． 【详解】（1）解：∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，且相交于点D， ∴∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC， ∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADB=110°，∴∠ABD+∠BAD=70°，∴∠ABC+∠BAC=140°， ∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=40°， （2）解：如图，过点作于，于，于， ∵、分别平分和，， ，，，，∴， 又∵，，∴平分； （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵、分别平分和，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 17.（2023.成都八年级期中）如图，在中，，，．求证：． 过D作于， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$