3.3 勾股定理的简单应用-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

勾股定理的简单应用 知识点一、勾股定理的应用 1. 用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2. 求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 例：如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______. 【解答】3 【解析】设点B落在AC上的E点处，如图所示： 设BD＝，则DE＝BD＝，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－， 在Rt△CDE中，根据勾股定理可得方程，解得， 故BD＝DE＝3. 知识点二、利用勾股定理解决最短路线问题 1. 求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2. 求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 例：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要　　 cm. 【解答】5 【解析】如图所示： ∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC， ∴AC=4cm，PC=BC=3cm，根据两点之间线段最短，得AP=5. 知识点三、利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 例：甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由. 【解答】北偏西55°方向 【解析】如图所示： 甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里， ， ∴∠BAC=90°， ∵C岛在A北偏东35°方向， ∴B岛在A北偏西55°方向． ∴乙船所走方向是北偏西55°方向. 巩固练习 一．选择题 1． 如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　） A．9m B．14m C．11m D．10m 2． 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 3． 一海轮以24海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，另一海轮以18海里/时的速度同时从港口A出发向西南方向航行，离开港口2小时后，两海轮之间的距离为（　　） A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里 4． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 5． 要从电杆上离地面5m处向地面拉一长为13cm的电缆，则地面电缆固定处与电线杆底部的距离为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 6． 将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 7． 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（　　） A．12尺 B．13尺 C．6尺 D．7尺 8． 如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（　　）km A．4 B．5 C．6 D． 9． 如图，公路AC、BC互相