专题2.3 函数的奇偶性与周期性（重难点突破）-突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

专题2.3 函数的奇偶性与周期性重难点突破（文科） 一、考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 4.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考情分析 三、考点梳理 【基础知识梳理】 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 图象关于 轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数 图象关于原点对称 判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ，则函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x， 也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2） ， 在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括 ，则 ． （4）若函数 是偶函数，则 ． （5）定义在 上的任意函数 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数 的定义域关于原点对称，则 为偶函数， 为奇函数， 为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数 为偶函数，函数 为奇函数． ②函数 （ 且 ）为奇函数． ③函数 （ 且 ）为奇函数． ④函数 （ 且 ）为奇函数． 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数 ， . ①若 ，则函数的周期为 ； ②若 ，则函数的周期为 ； ③若 ，则函数的周期为 ； ④若 ，则函数的周期为 ； ⑤函数 关于直线 与 对称，那么函数 的周期为 ； ⑥若函数 关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ； ⑦若函数 关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ； ⑧若函数 是偶函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 ； ⑨若函数 是奇函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 四、题型分析 (一)、判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断 与 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 例1．（1）（2020·北京四中模拟）下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋1　　　 B．f(x)＝ln C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x （2）.（2020·河北石家庄二中模拟）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(　　) A．y＝ex B．y＝tan x C．y＝x3－x D．y＝ln 【变式训练1】（1）．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 （2）．（2017届重庆市第八中学高三上学期二调）已知函数 （ ）, ,则 （ ） A． B． C． D． (二)、函数的奇偶性的应用 1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值． 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式. 已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的