专题2.2 函数的单调性与最值（重难点突破）-突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

专题2.2 函数的单调性与最值重难点突破（文科） 一、考纲要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 二、考情分析 三、考点梳理 【基础知识梳理】 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2、函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 条件 （1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 （3）对于任意的 ，都有 ； （4）存在 ，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识拓展】 1、函数单调性的常用结论 （1）若 均为区间A上的增(减)函数，则 也是区间A上的增(减)函数； （2）若 ，则 与 的单调性相同；若 ，则 与 的单调性相反； （3）函数 在公共定义域内与 ， 的单调性相反； （4）函数 在公共定义域内与 的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ① 的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减； ② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减． 四、题型分析 (一) 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对 或 进行适当变形，进而比较出 与 的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． （5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 例1．（2020·安徽省池州一中模拟）下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 【变式训练1】．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（2020届百校联考高考考前冲刺）下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( ) A．. B． C． D． (二) 判断含有参数的函数的单调性 例2．（2020·福建省三明一中模拟）若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(0，1] B．(－1，0)∪(0，1] C．(0，＋∞) D．(0，1] 【变式训练1】．（2020·江苏省扬州一中模拟）若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________． 【变式训练2】．（2020·山西省吕梁一中模拟）已知函数f(x)＝(a>0，x>0)． － (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在，求a的值． 上的值域是 (三) 函数的单调性的应用-解不等式 函数单调性的应用主要有： （1）由 的大小关系可以判断 与 的大小关系，也可以由 与 的大小关系判断出 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较. （2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． （3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，