专题12 数列求和方法之倒序相加法-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题12 数列求和方法之倒序相加法 一、单选题 1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式． 【详解】 由题已知是上的奇函数， 故， 代入得：， ∴函数关于点对称， 令， 则， 得到， ∵， ， 倒序相加可得， 即， 故选：C． 【点睛】 思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题. 先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式. 2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式． 【详解】 由题已知是上的奇函数， 故， 代入得：， ∴函数关于点对称， 令， 则， 得到， ∵， ， 倒序相加可得， 即， 故选：C． 【点睛】 思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式. 3．已知，（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用累加法即可求出通项公式． 【详解】 解：∵，则当时， ， …… ， ， ∴， 化简得， 又， ∴， 经检验也符合上式， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题． 4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ）． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】 利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数. 【详解】 设，则， 又，， ，由得：， ，，，， 的值为. 故选：. 【点睛】 本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题. 5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ） A． B．33 C． D．34 【答案】A 【分析】 根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】 函数满足， ①， ②， 由①②可得，， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为. 故选：A. 【点睛】 本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A．100 B．105 C．110 D．115 【答案】D 【分析】 根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和． 【详解】 解：函数满足，①， ②， 由①②可得， ，所以数列 是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题． 7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先可得，又，则，即，则可得，再由及计算可得； 【详解】 解：因为， 所以 所以 因为 所以， 所以 则数列的前2018项和 则 所以 所以 又 故选： 【点睛】 本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题. 8．已知若等比数列满足则（ ） A． B．1010 C．2019 D．2020 【答案】D 【详解】 等比数列满足 即2020 故选：D 【点睛】 本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值. 【详解】 ，， 设， 则， 两式相加得，因此，. 故选：B. 【点睛】 本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题． 10．设等差数列的前项和是，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据等差数列求和公式表示出，根据结合等差数列性质求解. 【详解】 由题：等差数列中： ． 故选：B 【点睛】 此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量. 11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式． 【详解】 由题已知是上的奇函数 故， 代入得： ∴函数关于点对称，令，则，得到． ∵， 倒序相加可得，即 ， 故选B． 【点睛】 本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对