3.4 方差-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

方差 知识点一、极差的定义及计算公式 1. 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2. 极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 例：某校九年级某次体育测试中，某班部分女同学的仰卧起坐成绩如下（单位：次/分）：45，44，41，40，48，45，45，47，则这组数据的极差为 . 【解答】8 【解析】∵45，44，41，40，48，45，45，47这组数据中，最大的数为48，最小的数为40， ∴这组数据的极差为48－40＝8. 知识点二、方差及标准差 1. 方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2. 方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3. 标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 例：已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 10 【解答】B 【解析】∵， ∴. 知识点三、极差、方差及标准差的区别与联系 1. 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2. 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3. 对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 例：甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均字数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 分析此表得出如下结论：（ ） （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3） 【解答】B 【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，故选B. 巩固练习 一．选择题 1． 已知数据甲：2、4、6、8、10，数据乙：1、3、5、7、9．用S甲2和S乙2分别表示这两组数据的方差，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 2． 一组数据x1，x2，…，xn的方差是2，那么另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3． 甲、乙两名运动员10次射击成绩（单位，环）如图所示．甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为，，则下列关系中完全正确的是（　　） A．，S甲2＞S乙2 B．，S甲2＜S乙2 C．，S甲2＞S乙2 D．，S甲2＜S乙2 4． 甲、乙、丙、丁四名同学最近4次数学考试成绩的平均分都是112分，方差如下表所示： 学生 甲 乙 丙 丁 方差（s2） 11.6 6.8 7.6 2.8 则这四名学生的数学成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5． 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（　　） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲