湖北省武汉市部分学校2021届高三9月起点质量检测数学试题（图片版）

数学试卷参考答案第 页（共4页） 选择题： 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 9 ABC 10 AB 11 BC 12 ABD 填空题： 13. 8 33 π 14. -26 15. -2ln2 16. 2 3 3 解答题： 17.（10分） 解：方案一：选条件①. ∵ Sn + 1 n + 1 - Sn n = a1 + an + 12 - a1 + an2 = d2 ， ∴{ }Snn 构成公差为 d2 的等差数列. …………………………………5分 ∴S11 + S22 +…+ S77 = 7S1 + 7 × 62 ·d2 = 7a1 + 212 d = 21 ， 又 a1 = -3 ∴ d = 4，an = a1 +(n - 1)d = 4n - 7 . 因此，选条件①时问题中的数列存在，此时 an = 4n - 7. ………………………10分 方案二：选条件②. 1 anan + 1 = 1 an + 1 - an ( 1 an - 1 an + 1 ) = 1 d ( 1 an - 1 an + 1 ) ， ∴1 d ( 1 a1 - 1 a2 + 1 a2 - 1 a3 +…+ 1 a6 - 1 a7 ) = - 23 ， ∴1 d ( 1 a1 - 1 a7 ) = - 23 ，即 6a1a7 = - 23 . …………………………………5分 代入 a1 = -3得 a7 = 3，则 d = 16 (a7 - a1) = 1 . ∴ an = a1 + (n - 1)d = n - 4 ，此时 a4 = 0 不符合条件. 因此，选条件 ②时问题中的数列不存在. …………………………………10分 方案三：选条件③. ∵a2n - a2n + 1 =(an - an + 1)(an + an + 1) = -d(an + an + 1) ， ∴-d(a2 + a3 +…+ a6 + a7) = -48 ， ∴ d(S7 - a1) = 48，由 S7 = 7a1 + 21d，a1 = -3， …………………………………5分 2020～2021学年度 武汉市部分学校高三起点质量检测 数学试卷参考答案及评分标准 1 数学试卷参考答案第 页（共4页） 代入得 d = 2 或 d = -87（舍）， ∴ an = a1 +(n - 1)d = 2n - 5 ， 因此，选条件③时问题中的数列存在，此时 an = 2n - 5. ……………………10分 18.（12分） 解：（1）设 ∠BAD =∠CAD = θ ， 则△ABC 面积 S = 12 AB·AC· sin 2θ = 12 AB·AD· sin θ + 12 AC·AD· sin θ ， ∴32sin 2θ = 2 sin θ ， 即 3 sin θ cos θ = 2 sin θ. 又 sin θ≠0 ，∴cos θ = 23. ∴ cos∠BAD = 23. …………………………………………………6分 （2）∵cos θ = 23, ∴ sin θ = 5 3 , sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 4 5 9 ， ∴ S = 12 AB·AC· sin 2θ = 2 5 3 . …………………………………………………12分 19.（12分） （1）证明：连接 A1C ，在△A1AC 中，A1C2 = AA21 + AC2 - 2AA1·AC· cos∠A1AC 即 A1C 2 = 12 + 22 - 2 × 1 × 2 × cos 60° = 3，于是A1C2 + AA21 = AC2, ∴ AA1 ⊥ A1C, 又 A1B1 ⊥面ACC1A1 ，AA1 ⊂面ACC1A1 ，∴ A1B1 ⊥ AA1 ， 而 A1B1 ⋂ A1C = A1 ，∴ AA1 ⊥面A1B1C ，而 B1C⊂面A1B1C ， ∴ AA1 ⊥B1C . ……………………………………………………6分 （2）解：如图，以 A1 为原点，  A1A，  A1C ,   A1B1 的方向分别为 x轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系 A1 - xyz . 设 n =(x1,y1,z1)为平面 AB1C 的法向量， m =(x2,y2,z2)为平面 BB1C 的法向量， 则 A1(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0, 3,0)，B1(0,0,1)，B(1,0,1) ，    AB1 = (-1,0,1)，  AC =(-1, 3,0)，   BB1 =(-1,0,0)，   B1C =(0, 3,-1)， 由 ì í î n·