策略 第一讲 数学变式 策略概述-数学变式的策略与实践

1 第一篇  数学变式之策略 第一篇  数学变式之策略 第一讲  数学变式  策略概述 一、对数学变式的认识 （一）数学变式的含义 数学变式包括有关知识结构的概念性变式和活动经验的过程性变式。变式是学生获取知 识、提升数学思维能力的重要途径之一。 （二）数学变式的作用 运用变式问题进行教学可以多角度、全方位地折射出该问题所在学科部分或全部的内涵。 通过数学变式，引导学生发现事物的本质属性，成为学习活动促进者；通过数学变式，创设有 利于学生发展、独立探究的学习情境，让学生自己去发现，去创造，使学习成为一个积极主动 的索取过程；通过数学变式，启发学生进行联想，使学生发现各种变式的实质联系，探索一般 规律通过数学变式可使问题逐渐深化，还可使学生思维的抽象程度提高；通过数学变式，能有 意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，逐步培养学 生灵活多变的思维品质，提高其数学核心素养。 二、数学变式的做法 数学变式无外乎数学知识（概念、定理、公式等）的变式和数学问题的变式，因此教师应 做好这两方面的工作。 （一）数学知识的变式 数学知识包括概念、定理、公式等，数学知识的变式可从知识的引入、理解、证明、变 形、巩固等多个方面进行变式。 2 数学变式的策略与实践 【例 1】学习双曲线定义，进行理解的变式探讨。 双曲线定义：平面内与两个定点 F F1 2, 的距离差的绝对值是常数 ( 小于 | |F F1 2 ) 的点的轨迹 叫作双曲线。 定义中的关键词是“绝对值”“常数”“小于 | |F F1 2 ”，为使学生有比较深刻的认识和理解， 可做如下变式探讨。 【变式 1】将定义中的“小于 | |F F1 2 ”换为“等于 | |F F1 2 ”，其余不变，点的轨迹是什么？ 【变式 2】将定义中的“小于 | |F F1 2 ”换为“大于 | |F F1 2 ”，其余不变，点的轨迹是什么？ 【变式 3】将定义中的“绝对值”去掉，其余不变，点的轨迹是什么？ 【变式 4】令“常数”等于零，其余不变，点的轨迹是什么？ 【变式 5】将“小于 | |F F1 2 ”去掉，其余不变，点的轨迹是什么？ 上述变式澄清了学生的模糊认识，加深了学生对双曲线定义的理解，从而使学生在审题时 不被“形”迷惑，让学生发现问题的本质。 【例 2】正弦定理 sin sin sin a b c A B C = = = 2R （ R 是 △ABC 外接圆半径）反映了任意三角形 中三条边与对应角的正弦之间的关系，描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。为使学生 加深理解和灵活运用，给出下面的变形变式。 【变式 1】 a R A b R B c R C= = =2 sin , 2 sin , 2 sin 。 【变式 2】 sin ,sin ,sinA B C= = = 2 2 2 a b c R R R 。 【变式 3】 a = =b A c A sin sin sin sin B C ， b = =c B a B sin sin sin sin C A ， c = =a C b C sin sin sin sin A B 。 【变式 4】 a b c A B C: : sin : sin : sin= 。 【变式 5】 sin sin sin sin sin sinA B C A B C+ + a b c a b c+ + = = = = 2R 。 利用这些变形变式能实现同一个三角形中边与角的互化，从而有利于问题的转化与解决。 【例 3】学习抛物线的定义后，可练习下面的巩固变式题组。 【变式 1】抛物线 y x2 = 8 上的点 (4, 4 2)− 到焦点的距离等于 。 【变式 2】抛物线 y x2 = 8 上点到焦点的距离等于 6 的点的坐标是 。 【变式 3】动点 P 到点 F(2，0) 的距离比它到直线 x+3=0 的距离小 1，则动点 P 的轨迹方 程为 。 3 第一篇  数学变式之策略 【变式 4】过抛物线 y x2 = 8 的焦点作直线与抛物线交于 A、B 两点，且线段 AB 中点 M 的 横坐标是 6，则 |AB|= 。 【变式 5】已知 F 是抛物线 y x2 = 8 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 。 【变式 6】已知 A，B 为抛物线 y x2 = 8 上的动点，|AB|=6，则 AB 的中点 P 到 y 轴距离的最 小值为 。 这样一组巩固变式题组加深了学生对抛物线定义的理解和应用，强化了学生运用知识解决 问题的能力，达到了灵活多变的效果。 （二）数学问题的变式 在问题解决的教学过程中，当学生获得一系列基本解法后，应通过改变题目的条件