策略 第四讲 数列模题 寻源思变-数学变式的策略与实践

10 数学变式的策略与实践 第四讲  数列模题  寻源思变 【 例 】 已 知 数 列 {an} 中， a a a a a n1 2 1 2= = + ≥5 =2, 2 3 ( 3)， n n n− − ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （写出所有正确结论的编号）。 （1）若设 a a a a nn n n n+ = + ≥λ µ λ− − −1 1 2( ) ( 3) ，则    λ µ = = 1 3 。 （2） a a nn n+ = ⋅ ≥−1 7 3 ( 2) n−2 且 a a nn n− = − ≥3 13( 1) ( 2)−1 n−1 。 （3） an = ⋅ + ⋅ − 1 4   7 3 13 ( 1) n n− −1 1 。 （4）数列     3 a n n − 12 7 和      an − ⋅12 7 3n 都是等比数列。 【解法 1】( 配凑法 ) （1）因为 a a a a nn n n n+ = + ≥λ µ λ− − −1 1 2( ) ( 3) ，又 an=2an-1+3an-2(n ≥ 3)， 所以   λµ µ λ− = = 3 2 ，解得    λ µ = = 1 3 或    λ µ = − = − 3 1 ，所以（1）错。 （2）证明：由（1）知，当 n≥3 时， a a a a a a a an n n n n n n n+ = + − = − −− − − − − −1 1 2 1 1 23( ), 3 ( 3 ) 。 又 a a1 2= 5 =2， ， 所以 a a a an n+ = + = ⋅−1 2 13 ( ) 7 3 n n− −2 2 ， ① a a a an n− = − − = ⋅ −3 ( 1) ( 3 ) 13 ( 1)−1 2 1 n n− −2 1 。 ② 又 a a2 1+ = 7 且 a a2 1− = −3 13 满足式子①和②， 故 a a nn n+ = ⋅ ≥−1 7 3 ( 2) n−2 且 a a nn n− = − ≥3 13( 1) ( 2)−1 n−1 ，（2）对。 （3）由（2）中① + ②得， 4 3 7 ( 1) 13 ( 3)a nn = × + − × ≥ n n− −1 1 。 又 a a1 2= 5 =2， 满足上式，因此，数列 {an} 的通项公式是 an = ⋅ + ⋅ − 1 4   7 3 13 ( 1) n n− −1 1 ，所以 （3）对。 （4）两个数列都是等比数列，可以用数列 {an} 的通项公式证明，也可用数列 {an} 的递推 关系式证明，所以（4）对。 故填（2）（3）（4）。 11 第一篇  数学变式之策略 【 点 评 】 上 述 解 法 中， 求 数 列 {an} 的 通 项 公 式 时 是 由（1） 的 铺 垫 得 到 的 两 个 关 系 a a a a a a a an n n n n n n n+ = + − = − −− − − − − −1 1 2 1 1 23( ), 3 ( 3 ) ，构造出了两个等比数列 { },{ 3 }a a a an n n n+ −− −1 1 ， 得 到 它 们 的 通 项 公 式 后， 进 而 相 加 求 解。 但 如 果 没 有（1） 的 铺 垫， 而 得 到 a a a a a a a an n n n n n n n+ = + − = − −− − − − − −1 1 2 1 1 23( ), 3 ( 3 ) ，就会令人觉得突兀了，只能当作观察出来的。 这里，受命题（1）的启发，下面给出求解这类数列问题的一种通用方法。 【 解 法 2】 将 a a an n n= +2 3− −1 2 两 边 同 时 加 上 λan−1 ， 得 a a a an n n n+ = + +λ λ− − −1 1 2(2 ) 3 ， 即 a a a an n n n+ = + +λ λ− − −1 1 2(2 )( )2+ 3 λ 。 令 λ = 2+ 3 λ ，得 λ λ2 + − =2 3 0 ，解得 λ λ= = −1, 3或 。 所以 a a a a a a a an n n n n n n n+ = + − = − −− − − − − −1 1 2 1 1 23( ), 3 ( 3 ) 。 又 a a1 2= 5 =2， ， 所以， a a a an n+ = + = ⋅−1 2 13 ( ) 7 3 n n− −2 2 ① a a a an n− = − − = ⋅ −3 ( 1) ( 3 ) 13 ( 1)−1 2 1 n n− −2 1