策略 第五讲 放飞思维 精彩纷呈-数学变式的策略与实践

14 数学变式的策略与实践 第五讲  放飞思维  精彩纷呈 【例】已知正实数 a b， 满足 2 1a b+ = ，则 a b b+ + a b 2 1 + 2 的最小值为 。 【解法 1】 a b b a b a b b a b a b+ + + + + + + a b a b a a b b a b a ab b 2 1 2 2 ( 2 )( ) + = + = = 2 2 ( ) ( 2 ) 2 2+ + + + + a ab b 2 2 2 2+ +3 2 = − = −1 1 a ab b2 2+ +3 2 ab b a a b + + 2 1 3 ≥ − = −1 2 2 2 2 2 3 1 + ， 当 且 仅 当 b a a b = 2 即 a b= 2 时，等号成立。 故 a b b+ + a b 2 1 + 2 的最小值为 2 2 2− 。 【点评】该解法将目标式整理为关于 a b， 的二次齐次分式后，分离常数，进而转化为运用 基本不等式的结构形式求解，技巧性较强。 【解法 2】 a b b+ + a b 2 1 + 2 = + = + a b a b b a b a b+ + + + + a b a b 2 2 2 2 。 令 a b m a b n m n+ = + = > >2 ( 0 0)， ， ，则 a n m b m n= − = −2 ， ， 所 以 a b b+ + a b 2 1 + 2 = + = + − ≥ ⋅ − = − 2 2 2n m m n n m n m m n m n m n − − 2 2 2 2 2 2 ， 当 且 仅 当 2 m n n m = 时， 等号成立。 故 a b b+ + a b 2 1 + 2 的最小值为 2 2 2− 。 【点评】对于通过“常值代换”转化成两项一元齐次分式和的一类二元条件最值问题，利 用双变量换元法求解十分奏效。 【解法 3】设 M = a b b+ + a b 2 1 + 2 ， 则 M = a b b a b a b b a b a b+ + + + + + + a b a b a a b b a b a ab b 2 1 2 2 ( 2 )( ) + = + = = 2 2 ( ) ( 2 ) 2 2+ + + + + a ab b 2 2 2 2+ +3 2 15 第一篇  数学变式之策略 = 1 2 2 ( ) 1 3 2 ( ) + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ b b a a b b a a 2 2 。 令 b a = t ，则 t > 0 ，所以 M = 1 2 2 1 3 2 + + + +t t t t 2 2 ，显然 M ≠ 1 。 去分母整理得 (2 2) (3 2) 1 0M t M t M− + − + − =2 ，则该关于 t 的方程有两个正实数根， 所以     − ∆ = − − − − ≥ − > 3 2 2 2 M M (3 2) 4(2 2)( 1) 0 − M M M 0 2 ，解得 M ≥ −2 2 2 。 故 a b b+ + a b 2 1 + 2 的最小值为 2 2 2− 。 【点评】该解法把目标式变形整理后，再换元转化为关于新元的一元二次方程，利用判别 式法求解。 【解法 4】因为 2 1a b+ = ，所以 b a= −1 2 ， 所以由 a b， 为正实数，得 0 < <a 1 2 。 设 M = a b b+ + a b 2 1 + 2 ，则 M = + = 2 3 1− − a a a a a a 1 2 5 6 2− − + 3 5 2a a 2 2 − + 。 将 M 对 a 求导，得 M ′ = (3 5 2) − + − a a 7 8 2a a 2 2 2 − + 。 令 M ′ = 0 ，得 a = 4 2− 7 ( a = >4 2 1+ 7 2 舍去 )。 当 a∈ (0 )，4 2− 7 时， M ′ < 0 ；当 a∈ ( )4 2 1− 7 2 ， 时， M ′ > 0 。 所以 M 在 (0 )，4 2− 7 上单调递减，在 ( )4 2 1− 7 2 ， 上单调递增。 所以当 a = 4 2− 7 时， M 取得最小值，且最小值为 2 2 2− 。 故 a b b+ + a b 2 1 + 2 的最小值是 2 2 2− 。 【点评】该解法通过消元化为关于 a 的一元函数式，求导利用单调性求解。这也是求解二 元条件最值问题常用的一个方法。 16 数学变式的策略与实践 【 变 式 1】 已 知 点 ( )a b， 在 线 段 2 1 ( 0 0)x y x y+ = > >， 上， 则 a b b+ + a b