策略 第九讲 娱乐活动 概率应用-数学变式的策略与实践

30 数学变式的策略与实践 第九讲  娱乐活动  概率应用 【例 1】现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择。为增 加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏。 （1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ = −X Y ，求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E( ξ )。 【解析】依据题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 1 3 ，去参加乙游戏的概率 为 2 3 。 设“这 4 个人恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 A ii ( 0 1 2 3 4)= ，，，， ，则 P A C( ) ( ) ( )i = 4 i i i1 2 3 3 4− 。 （1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P A C( ) ( ) ( )2 4= = 2 2 21 2 8 3 3 27 。 （2） 设“ 这 4 个 人 中 去 参 加 甲 游 戏 的 人 数 大 于 去 参 加 乙 游 戏 的 人 数 ” 为 事 件 B， 则 P B P A P A C C( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = × + =3 4 4 4 3 3 4 41 2 1 1 3 3 3 9 。 所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 。 （3）随机变量 ξ的所有可能取值为 0，2，4。 由于 A1 与 A3 互斥， A0 与 A4 互斥，因此 P P A( 0) ( )ξ = = =2 27 8 ， P P A P A( 2) ( ) ( )ξ = = + =1 3 40 81 ， P P A P A( 4) ( ) ( )ξ = = + =0 4 17 81 。 所以，随机变量 ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 27 8 40 81 17 81 31 第一篇  数学变式之策略 数学期望 E( ξ )=0× 27 8 +2× 40 81 +4× 17 81 = 148 81 。 【点评】本题以参加娱乐活动为背景，考查了互斥事件的概率、事件的相互独立性及随机 变量的分布列和数学期望的计算，考查了运用概率知识解决实际问题的能力。 【例 2】学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装 3 个白球，2 个黑球，乙箱子里装 2 个 白球，2 个黑球，从这两个箱子里分别摸出 1 个球，如果它们都是白球则获奖。有人认为，两 个箱子里装的白球比黑球多，所以获奖的概率大于 0.5。你认为呢？ 【解析】从甲箱子里摸出 1 个球与从乙箱子里摸出 1 个球互不影响是相互独立的，运用相 互独立事件的概率公式求解判断。 设事件 A1 表示从甲箱子里摸出白球，事件 A2 表示从乙箱子里摸出白球。因为从甲箱子里 摸球的结果不会影响从乙箱子里摸球的结果，所以 A1 和 A2 是相互独立的。 P( 获奖 ) = = = × = =P A A P A P A( ) ( ) ( ) 0.31 2 1 2 5 4 10 3 2 3 。 尽管两个箱子里装的白球比黑球多，但获奖的概率小于 0.5。原因是除了两个球全为白球 外，还有可能两个球全为黑球或两个球中一个为白球另一个为黑球，两个球全为黑球的概率为 5 4 5 2 2 1 × = = 0.2 ，两个球中一个为白球另一个为黑球的概率为 1-0.3-0.2=0.5。由两个箱子里装 的白球比黑球多，只能推出摸出的两个球全为白球的概率大于摸出的两个球全为黑球的概率， 但这两个事件并不是必然事件，所以不能推出获奖的概率大于 0.5。 【点评】本题考查的是对事件的相互独立性的理解及其概率的求法。运用公式 P(AB)=P(A) P(B) 时，一定注意只有当 A、B 相互独立时，公式才成立。 【变式 1】学校游园活动有这样一个项目：在一个箱子里装有 9 个大小相同的球，其中 5 个是白球，4 个是黑球，从这个箱子不放回地摸球 2 次，每次摸一球。如果第 1 次摸出白球， 第 2 次摸出的也是白球则获奖。求获奖的概率。 【解析】求获奖的概率就是在第 1 次摸出白球的条件下，第 2 次也摸出白球的概率。 设事件 A 表示第 1 次从箱子里摸出白球，事件 B 表示第 2 次从箱子里摸出白球，则 P A P AB( ) , ( )= = × = 9 9 8 18 5 5 4 5 ，所以 P( 获奖 ) = = = = =P B A( | ) 0.5P AB P A ( ) 1 ( ) 2 18 9 5 5 。 【点评】本题是