实践 第一讲 集合与逻辑-数学变式的策略与实践

35 第二篇  数学变式之实践 第二篇  数学变式之实践 第一讲  集合与逻辑 【例 1】（2018 · 全国Ⅲ卷）已知集合 A x x= −{ ≥ }| 1 0 ， B ={ ， ， }0 1 2 ，则 A B = ( )。 A． {0} B． {1} C． { ， }1 2 D． { ， ， }0 1 2 【解析】因为 A x x= −{ ≥ }| 1 0 ={x|x ≥ 1}， B ={ ， ， }0 1 2 ，所以 A B = { ， }1 2 ，故选 C。 【点评】集合是高中数学中基本的、重要的概念之一，高考强化对集合运算的考查。集合 是高考命题的重点，熟练掌握集合的交、并、补运算是解题的关键。 课本原型 ( 人教 A 版必修 1 第 11 页第 1 题 ) 设A ={ ， ， ， }3 5 6 8 ，B ={ ， ， ， }4 5 7 8 ，求A B ， A B 。 【解析】因为 A ={ ， ， ， }3 5 6 8 ， B ={ ， ， ， }4 5 7 8 ，所以 A B ={ ， }5 8 ， A B ={ ， ，3 4 5 6 7 8， ， ， } 。 【点评】对照高考题目和课本题目可以看出，其集合运算背景、考查意图相同，都考查了 集合的“交”运算，体现了高考“源于课本”的命题思想。 【变式 1】设全集 U A= ={ ， ， ， ， ， }， { ， ， ， }3 4 5 6 7 8 3 5 6 8 ， B ={ ， ， ， }4 5 7 8 ，求 ( )CU A  B A B，( )CU 。 【解析】因为 U A= ={ ， ， ， ， ， }， { ， ， ， }3 4 5 6 7 8 3 5 6 8 ，所以 C AU ={ ， }4 7 。 又 B ={ ， ， ， }4 5 7 8 ，所以 ( ) { ， }，( ) { ， ， ， }C A B C A BU U = 4 7 = 4 5 7 8 。 【变式 2】设全集 U={3，4，5，6，7，8}，A={3，5，6，8}， B ={ ， ， ， }4 5 7 8 ，则集合 ( )CU A B 中子集的个数共有（ ）。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 36 数学变式的策略与实践 【解析】因为 ( ) { ， }C = 4 7U A B ，所以集合 ( )CU A B 中子集的个数为 4，故选 D。 【点评】若集合 A 中有 n（n ∈ N）个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 2n，所有 真子集的个数为 2n-1，所有非空真子集的个数为 2n-2。 【变式 3】设全集 U={3，4，5，6，7，8}，A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，则下图 中阴影部分表示的集合是 。 B A U 【点评】图中阴影部分表示的集合是 ( ) { ， }C 4 7U A B = 。 【变式 4】设全集 U A={ ， ， ， ， ， }， { ， ，6，8}3 4 5 6 7 8 = 3 5 ，求满足 A C B ( ) 3 6U ={ , } 的所 有集合 B 的个数。 【解析】要确定所有的集合 B 的个数，即确定集合 CU B 的个数，而 CU B 的个数由 CU B 中的 元素确定，故应对 CU B 可能的情形进行讨论。 因为 U A={ ， ， ， ， ， }， { ， ，6，8}3 4 5 6 7 8 = 3 5 ，且 A B (C ) 3 6U ={ , } ，所以 CU B 元素的个 数有以下三种情况： （1） CU B 中有两个元素，即 {3，6}。 （2） CU B 中有三个元素，除 3，6 外，还有 4 或 7，这样的集合有 2 个。 （3） CU B 中有四个元素，即 CU B ={3，4，6，7}。 综上可知，满足 A B (C ) 3 6U ={ ， } 的所有集合 B 的个数有 1+2+1=4 个。 【点评】分类讨论的数学思想在集合解题中贯穿始终，并且是学生解题容易忽略而出现错 误的地方，应引起高度注意。 【感悟】高考对集合的考查以集合的基本运算为主，在试题的设问方式上，通常涉及集合 运算的正反两个侧面：一是给出确定的集合，进行集合的交、并、补集运算；二是给出含有参 数的集合以及集合间运算满足的某种关系，求相应参数的值或取值范围。 37 第二篇  数学变式之实践 对于交集概念的掌握要注意以下三个方面：①交集仍是一个集合；②交集中的元素都是两 个集合的“公共元素”，即若 x ∈ A ∩ B，一定有 x ∈ A 且 x ∈ B。 对 于 并 集 的 理 解 应 注 意 一 点， 即 若 x ∈ A ∪ B， 则