实践 第三讲 三角函数与解三角形-数学变式的策略与实践

65 第二篇  数学变式之实践 第三讲  三角函数与解三角形 【例 1】已知 cosθ · tanθ ＜ 0，那么角 θ 是（ ）。 A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 【解析】由 cosθ · tanθ ＜ 0 知 cosθ ＞ 0，tanθ ＜ 0 或 cosθ ＜ 0，tanθ ＞ 0。 若 cosθ ＞ 0，tanθ ＜ 0，则角 θ 为第四象限角；若 cosθ ＜ 0，tanθ ＞ 0，则角 θ 为第三象限角。 角 θ 为第三或第四象限角，故选 C。 【点评】本题考查了三角函数在各个象限的符号的判断及应用。 【变式 1】已知 sinθtanθ ＜ 0，则角 θ 为（ ）。 A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 【解析】由 sinθtanθ ＜ 0 知 sinθ ＞ 0，tanθ ＜ 0 或 sinθ ＜ 0，tanθ ＞ 0。 若 sinθ ＞ 0，tanθ ＜ 0，则角 θ 为第二象限角；若 sinθ ＜ 0，tanθ ＞ 0，则角 θ 为第三象限角， 故选 B。 【变式 2】已知 sinθ ＜ 0， cosθtanθ ＞ 0，则角 θ 为（ ）。 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【解析】由 cosθ ＜ 0 知角 θ 为第三或第四象限角；由 sinθtanθ ＞ 0 知角 θ 为第一或第四象 限角。所以角 θ 为第四象限角，故选 D。 【变式 3】若 sin2θ>0，且 cosθ<0，则角 θ 为（ ）。 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限 【解析】因为 sin2θ>0，所以 2kπ<2θ<2kπ+π（k ∈ Z）， 所以 kπ<θ<kπ+ π 2 （k ∈ Z）， 当 k=2n（n ∈ Z）时，2nπ<θ<2nπ+ π 2 （n ∈ Z）； 当 k=2n+1（n ∈ Z）时，2nπ+π<θ<2nπ+ 3 2 π （n ∈ Z）， 故 θ 为第一或第三象限角。 66 数学变式的策略与实践 又 cosθ<0，θ 为第二或第三象限角，所以 θ 角在第三象限，故选 C。 【变式 4】如果点 P(2 sinθcosθ，sinθ+cosθ) 位于第四象限，则角 θ 为（ ）。 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【解析】由题意知 sinθcosθ ＞ 0，且 sinθ+cosθ ＜ 0，所以 sinθ ＜ 0，cosθ ＜ 0，所以 θ 为 第三象限角，故选 C。 【变式 5】若 θ ∈ ( 3 4 π ， 5 4 π )，则在平面直角坐标系中，点 ( sinθ+cosθ，sinθ-cosθ) 在 （ ）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】由 θ ∈ ( 3 4 π ， 5 4 π )，知 sinθ+cosθ<0，sinθ-cosθ>0，故选 B。 【变式 6】若 α 是第三象限角，且 sin α 2 +cos α 2 >0，那么 α 2 是（ ）。 A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 【解析】sin α 2 +cos α 2 >0，即 α 2 的终边在直线 x+y=0 的上方。 又因为 α 是第三象限角，即 π+2kπ ＜ α ＜ 3 2 π +2kπ，k ∈ Z， 所以 π 2 +kπ< α 2 < 3 4 π +kπ，k ∈ Z。 综上知 α 2 是第二象限角，故选 C。 【感悟】 由角的三角函数值（或范围）求角所在的象限是任意角三角函数的重要应用。求 解这类问题，一是要注意应用知识，三角函数在各象限的符号记忆口诀“一全正，二正弦，三 两切，四余弦”；二是先由条件用不等式表示出 θ 的范围，进而求解。 【例 2】计算 sin43°cos13°-cos43°sin13° 等于（ ）。 A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 【解析】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°) =sin30°= 1 2 ，故选 A。 【点评】本题考查了两角差的正弦公式的逆向应用以及对特殊角的三角函数值的熟练求 解，并且考查了学生的计算能力。逆向运用公式，如 sin（α+β）cosβ-sinβ cos（α+β）=sinα， 67 第二篇  数学变式之实践 sinα-cosα= 2 （sinαsin π 4 -cosαcos π 4 ）= 2 （sinαcos π 4 -cosαsin π