实践 第六讲 平面解析几何-数学变式的策略与实践

113 第二篇  数学变式之实践 第六讲  平面解析几何 【例 1】（人教版 A 版必修 2 第 100 页第 9 题）求过点 P(2,3) ，并且在两轴上的截距相等的 直线方程。 【解析】（1）若直线过原点，设直线方程为 y kx= ，把点 P(2,3) 代入得点 k = 3 2 ，此时直线 方程为 y x= 3 2 ，即 3 2 0x y− = 。 （2）若直线不经过原点，则设直线方程为 a a x y + =1 ，即 x y a+ = 。把点 P(2,3) 代入得 a = 5 ， 所以直线方程为 x y+ = 5 ，即 x y+ − =5 0 。 综上可得，所求的直线方程为 3 2 0x y− = 或 x y+ − =5 0 。 【点评】“截距”是直线方程的重要参数，它不是“距离”，它的取值可正可负，还可为零。 对于涉及直线截距的问题，一定要考虑特殊情形，如下面变式 1 ～ 3，都要考虑直线过原点的 情形。另外，所求的直线方程最终都要化为一般式方程。 【变式 1】求过点 P(2,3) ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程。 【解析】（1）若直线过原点，同例 1 解析（1）。 （2）若直线不经过原点，则设直线方程为 a a x y + = − 1 ，即 x y a− = 。把点 P(2,3) 代入得 a = −1 ，所以直线方程为 x y− = −1 ，即 x y− + =1 0 。 综上可得，所求的直线方程为 3 2 0x y− = 或 x y− + =1 0 。 【变式 2】求过点 P(2,3) ，并且在两轴上的截距绝对值相等的直线方程。 【解析】（1）若直线过原点，同例 1 解析（1）。 （2）若直线不经过原点，则当截距相等时，由例题解析（2）得直线方程为 x y+ − =5 0 ； 当截距互为相反数时，由变式 1 解析（2）得直线方程为 x y− + =1 0 。 综上可得，所求的直线方程为 3 2 0x y− = 或 x y+ − =5 0 或 x y− + =1 0 。 【变式 3】求过点 P(2,3) ，并且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程。 【解析】（1）若直线过原点，同例 1 解析（1）。 114 数学变式的策略与实践 （2）若直线不经过原点，则设直线方程为 2 x y a a + =1 ，即 x y a+ =2 2 。把点 P(2 3)， 代入得 a = 4 ，所以直线方程为 x y+ =2 8 ，即 x y+ − =2 8 0 。 综上可得，所求的直线方程为 3 2 0x y− = 或 x y+ − =2 8 0 。 【点评】上述三个变式当直线过原点时都适合，都需考虑直线过原点的情形，但是若将变 式 3 中的“直线在两轴上的截距成倍数关系”改为“直线在两轴上的截距成比例关系”还需要 考虑直线过原点的情形吗？ 【变式 4】求过点 P(2,3) ，并且在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距的比是 2 ∶ 1 的直线方程 . 【解析】由题意知直线不过原点。 设直线方程为 2 x y a a + =1 ，即 x y a+ =2 2 。把点 P(2 , 3) 代入得 a = 4 ，所以直线方程为 x y+ =2 8 ，即 x y+ − =2 8 0 。 所以，所求的直线方程为 x y+ − =2 8 0 。 【点评】通过该变式，学生应体会到在解题的时候，要具体问题具体分析，把握好题目的 条件和要求。 【变式 5】设直线 l 的方程为 (a+1)x-2y+4-2a=0 (a ∈ R )。若 l 在两坐标轴上的截距相等， 求 l 的方程。 【解析】 （1）当直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等都为零，显然符合条件， 则有 a=2，直线方程为 3 2 0x y− = 。 （2） 当 直 线 l 不 过 原 点， 即 a ≠ 2 时， 由 于 截 距 相 等 且 存 在， 则 2 4 a a + − 1 = −2 a ， 解 得 a=-3，则直线 l 的方程为 x y+ − =5 0 。 综上可得，直线 l 的方程为 3 2 0x y− = 或 x y+ − =5 0 。 【变式 6】求过点 P(2,3) ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 25 2 的直线方程。 【解析】显然直线不与两坐标轴平行且不过原点，设直线的方程为 a b x y + =1 。 将点 P(2,3) 代入方程得 a b 2 3 + =1 。 115 第二篇  数学变式之实践 又 1 25 2 2 | || |a b = ，联立解得  b a = = 5 5 ，或      b a = = 15 10 2 3 。 所以所求直线的方程为 5 5 x y + =1 或 10