实践 第八讲 概率与统计-数学变式的策略与实践

169 第二篇  数学变式之实践 第八讲  概率与统计 【例 1】（人教 A 版必修 3 第 124 页第 5 题）某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个 面上做了记号，投掷了 100 次，并且记录了每个面落在桌面上的次数（见下表）。如果再投掷 一次，请估计石块的第 4 面落在桌面上的概率是多少？ 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 【解析】依据概率的统计定义，可以用事件发生的频率去“测量”概率。 由 P= m n ，可得出这 100 次试验中“石块的第 4 面落在桌面上”这一事件出现的频率为 100 13 =0.13。由概率的统计定义可得，“石块的第 4 面落在桌面上”的概率为 0.13。 【点评】频率虽然随着试验次数变化，但具有一定的规律性，频率是概率的近似值，概率 是频率的稳定值。概率实际上是频率的科学抽象，在实际问题中，当随机事件的概率未知时， 常用频率作为它的估计值。概率体现了随机事件的可能性。 【变式 1】某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上做了记号，投掷了 100 次， 并且记录了每个面落在桌面上的次数（见下表）。如果再投掷一次，石块的第 4 面落在桌面上 的概率是 0.13，这是指（　　）。 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 A. 这个人投 100 次，必有 13 次石块的第 4 面落在桌面上 B. 这个人投 100 次，必有 13 次石块的第 4 面不落在桌面上 C. 这个人投 1 次，石块的第 4 面落在桌面上的可能性是 0.13 D. 以上说法都不正确 【解析】这个人每投 1 次，相当于做一次试验。石块的第 4 面落在桌面上的概率是 0.13， 只能说明这个人投一次，石块的第 4 面落在桌面上的可能性是 0.13，而不是有 13 次石块的第 4 面落在桌面上或不落在桌面上，故选 C。 170 数学变式的策略与实践 【点评】本题是根据概率的意义进行判断选择的。概率是从统计的角度通过大量的重复 试验得到的关于某个事件发生的频率的稳定性的一个描述，反映了某个事件发生的可能性的 大小。 【变式 2】某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上做了记号，投掷了 100 次， 并且记录了每个面落在桌面上的次数（见下表）。如果再投掷一次，请估计石块的第 2 面或第 4 面落在桌面上的概率是多少？ 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 【解析】由 P= m n ，可得出这 100 次试验中“石块的第 2 面落在桌面上”这一事件出现的 频率为 100 18 =0.18，所以由概率的统计定义可得，“石块的第 2 面落在桌面上”的概率为 0.18 ； “石块的第 4 面落在桌面上”这一事件出现的频率为 100 13 =0.13，由概率的统计定义可得，“石 块的第 4 面落在桌面上”的概率为 0.13。 因为“石块的第 2 面落在桌面上”与“石块的第 4 面落在桌面上”是互斥事件，所以“石 块的第 2 面或第 4 面落在桌面上”的概率是 0.18+0.13=0.31。 【点评】若一个较复杂事件可以分解成几个彼此互斥的基本事件，则这个事件的概率就是 这些基本事件的概率的和，利用互斥事件的概率加法公式即可求得。解题的关键在于确定这些 基本事件是否互斥。 【变式 3】某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上做了记号，投掷了 100 次， 并且记录了每个面落在桌面上的次数（见下表）。如果再投掷一次，请估计不是石块的第 4 面 落在桌面上的概率是多少？ 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 【解析】由 P= m n ，可得出这 100 次试验中“石块的第 4 面落在桌面上”这一事件出现的 频率为 100 13 =0.13，由概率的统计定义可得，“石块的第 4 面落在桌面上”的概率为 0.13。 171 第二篇  数学变式之实践 因为“不是石块的第 4 面落在桌面上”与“石块的第 4 面落在桌面上”是对立事件，所以 “不是石块的第 4 面落在桌面上”的概率是 1-0.13=0.87。 【点评】对于用直接法难以解决的事件的概率问题，如“不是”“至少”“至多”等，可先 求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。这样能够降低难度，迅速求解。 【感悟】“频率”与“概率”是两个基本的概念，概率是从统计的角度，通过大量的重复 试验得到的关于某个事件发生的频率的稳定性的一个描述，反映了某个事件发生的可能性的大 小。概率的基本性质是研究概率问题的基础。 要正确理解概率的意义和基本性质。概率是用来度量事件发生可能性大小的量，是客观存 在的，与试验次数无关。任何事件的概率都是区间 [0，1] 内的一个确定的数。互斥事件和对