云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理）试题（图片版）

云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A B A D D C B C 【解析】 1．M是数集，N是点集，故选C． 2． ，故选D． 3．随机变量x~ ，正态曲线的对称轴 ，所以 ，故选A． 4． ，故选C． 5． ，故选A． 6．双曲线右焦点 ，即 ，点F到一条渐近线的距离为b，即 ，∴ ， ，故选B． 7．由题意， ．所以 ， ，故选A． 8．由 ，解得 (舍负)，又由 ，得 ，所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立，但是m， ，故 ， 时，最小值为 ，故选D． 9．由题意三视图对应的几何体如图1所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即 ，故选D． 10． ，令 ，则 为奇函数，所以 关于坐标原点对称，则 关于 成中心对称，则有 ，所以 ，故选C． 11．令 ，则 ，则存在 ，使得 ，所以 在 取得最小值， ，在 上单调递减，所以有 ，故选B． 12．设 ， ，则过A，B的切线方程分别为 ， ，联立解得 ，所以P点必在抛物线的准线上，且PM平行于x轴，所以①⑤正确；两条切线的斜率 ，所以 ，②正确；设AB的中点M，则PM平行于x轴，则 ，当 轴时，取等号，所以③错误； ，所以 ，④正确，故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 2 6 【解析】 13．不等式组表示的可行域如图2所示，当x，y为直线 与 的交点 时， 的最小值为 . 14． 的展开式的通项公式 ，令 ，解得 ，所以 的系数为10206． 15．圆C： 的圆心为 ，四边形PACB的面积 EMBED Equation.DSMT4 ，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．代入点到直线的距离公式， ，故四边形PACB面积的最小值为2． 16．如图3，由对称性知，球O的球心在中垂线MN上，设球O的半径为R，在 中，由勾股定理可得 在 中，由勾股定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ， ，由 ，联立解得 ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（1）已知 ， 由正弦定理， ， 整理得 ， 由余弦定理： ，又 ， 所以 ． ………………………………………………………………（4分） （2）已知 ， 整理得 ， ， 即 ． ①当 时， 为直角三角形， ； ②当 时， ， 所以 ， 为等边三角形， ． ……………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（1）x的值为 ， 数学成绩在90分以上的人数： ． …………………………………………………………（4分） （2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人， 成绩在110以上的概率 ， 所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人， 所选4人中成绩在110以上的人数 ， 随机变量 的取值可能为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 随机变量 的分布列 0 1 2 3 4 P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 随机变量 数学期望 ． ……………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （1）证明：如图4， ∵ 平面ABC， 平面ABC， ∴ ． 又∵ ，∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴平面 平面 ． ………………………………………………（4分） （2）解：过点A作平面ABC的垂线作为z轴，AB为x轴，AC为y轴，建立如图5所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则有 令 ， ， 设平面 的法向量 ， 则有 令 ， ， 向量 ， 所成角的余弦值： ． ∴ ， ∴二面角 的正弦值为 ． ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） （1）解：由 ，得 ， 又 在椭圆上， 代入椭圆方程有 ，解得 ， 所以椭圆C的标准方程为 ． ………………………………………（4分） （2）证明：当直线l的斜率不存在时， ， ， ，解得 ，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程 ， ， ， 由 整理得 ， ， ， ． 由 ，整理得 ， 即 ． 当 时，此时，直线l过P点，不符合题意； 当 时， 有解，此时直线l： 过定点 ． ……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （1）解：函数 的定义域为 ， ，解得 (舍去)， ． 当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调