第4讲 函数的单调性（讲义）-新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（必修1）

第4讲 函数的单调性 1.理解函数单调性的定义 2.掌握单调性的判断方法 3.掌握单调性的简单应用 1.函数的单调性贯穿整个高中数学 2.复合函数的单调性是单调性的重点考察对象 3.函数的值域问题、最值问题都可以转化为函数的单调性问题 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ [来源:学科网ZXXK] 函数单调性的定义 1.定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 3.定义变式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 例1. 对于函数y＝f（x），在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则y＝f（x）（　　） A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 练习1. ．函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有　　（填序号）． 练习2. 下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的　 　． ①；②y＝1﹣x2；③y＝x2＋x；④．[来源:Z,xx,k.Com] 利用定义判断函数的单调性，根据“同增异减”，常见函数的单调性，可以利用图象法. 例2. 函数y＝|x|的单调递增区间为　 　． 练习1. 函数y＝|x|﹣1的减区间为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，＋∞） D．（﹣1，＋∞） 练习2. 函数y＝|x﹣1|的递增区间是　 　． 函数单调性的证明 1.利用定义证明单调性的步骤 （1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且 （2）作差： （3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式. （4）判断符号 （5）结论 2函数单调性的常见结论[来源:Z#xx#k.Com] （1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反； （2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性； （3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同； 当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反； （4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性； （5）若，函数与具有相同的单调性； （6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性； （7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性； 例3. 函数f（x）＝4﹣在（0，＋∞）上为　 　函数（填“增”或“减”） 练习1. 已知函数f（x）＝的定义域为（﹣1，1）， 练习2. 证明函数 f（x）＝2x＋在[0，＋∞）上是增函数 例4. 已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]＝x＋2，g（1）＝﹣1 （1）求函数f（x）和g（x）； （2）设h（x）＝f（x）＋g（x），判断函数h（x）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义加以证明． 练习1. 设f（x）＝． （1）判断函数f（x）在[0，＋∞）上的单调性，并按单调性定义证明． （2）求f（x）的值域． 证明解析式相对复杂的函数单调性问题，仍严格按照步骤证明即可. 函数的最值 1.最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I,都有f(x)≤M； （2）存在