第5讲 函数的奇偶性（讲义）-新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（必修1）

第5讲 函数的单调性 [来源:Zxxk.Com] [来源:Z*xx*k.Com] 1.理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题； 2.能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题. 1.函数奇偶性的概念及图象特征是重点； 2.函数的奇偶性的判断方法及其性质的简单应用是难度. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 函数奇偶性的定义 一、奇函数 1、定义 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.点拨 （1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；[来源:学+科+网] （2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； （3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x） ⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x 3.命题方向 奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式． 二、偶函数 1.定义 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 2.点拨 （1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？ （2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 3.命题方向 与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用． 例1. 下列四个命题： （1）f（x）＝1是偶函数； （2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数； （3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数； （4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称， 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 练习1. 已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（　　） A．（a，f（﹣a）） B．（﹣a，f（a）） C．（﹣a，﹣f（a）） D．（a，﹣f（a）） 练习2. 如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　） A．y＝x＋f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2＋f（x） D．y＝x2f（x） 例2. 已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a＝　 　，b＝　 　． 练习1. 已知函数f（x）＝ax3＋bx＋1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝　 　． 练习2. 定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m＝　　，n＝　　． 例3. 设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f（x）表达式为　　 ． 练习1. 已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式． 练习2. 已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为　 　． 函数奇偶性的证明 1、 判断奇偶性的方法 1.定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有，则函数是偶函数，如果有，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. 2.求和判别法 如果对于定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数； 若，则是偶函数. 3.作差判别法 对于函数定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数. 4.作商判别法 对于函数定义域内的任意一个，设，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数. 2、 点拨 1. 对于抽象函数的