第5讲 空间中的垂直关系（讲义）-2021新高考改革高中数学同步训练教师免备课（全国版）（必修2）

第5讲 空间中的垂直关系 1．了解线面垂直的判定定理的直观感知． 2．理解线面垂直的定义以及判定定理． 3．能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直． 4．理解二面角，面面垂直的概念． 5．掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理． 6．能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题． 7．认识和理解空间中线面、面面垂直的性质． 8．能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题． 9．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系． 1．了解直线与平面垂直的定义．(重点) 2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点、难点) 3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、易错点) 4．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 5．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决一些简单问题．(重点、难点) 6．掌握平行与垂直之间的转化．(易错点) 7．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小．(重点、易错点) 8．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会证明垂直关系．(重点、难点) 9．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(难点) 直线与平面垂直的判定 1．直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 3．直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ． （2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则 . （3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是 . 例1.下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　 B．1 C．2 D．3 练习1. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 练习2.下列说法中错误的个数是(　　) ①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α； ②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交； ③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直； ④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 例2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 练习1.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点． 求证：AD⊥平面A1DC1. [来源:Z+xx+k.Com] 例3.(2016·肇庆高二期末)如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 练习1. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.