专题06 函数的奇偶性-2021年高考数学函数与导数大通关（新高考地区专用）

专题06 函数的奇偶性 名师讲堂： 函数的奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x），那么函数f(x）就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f(-x）=-f(x），那么函数f(x）就叫做奇函数 关于原点对称 方法提升： 1. 常见重要的奇偶函数类型 （1） f(x）=-是奇函数，f(x)=+是偶函数 （2） f(x）=（a是奇函数 （3） f(x）= 或f(x)= (a是奇函数 （4） f(x）= (a是奇函数。 2. 奇函数特性 （1） f(x）为奇函数f(-x）=-f(x）f(-x）+f(x）=0 （2） 若奇函数f(x）的定义域包含0，则f(0）=0 （3） 若f(x)既是奇函数，又是周期函数，则f(x)的半周期是零点。 （4） 若f(x)奇函数，则f(x)在两个对称的区间上单调性相同。 （5） 若.f(x）奇函数，g(x）=f(x）+a,则g(x）+g(-x）=2a （6） 若.f(x）是奇函数，且.f(x）有最大（小）值，则.f(x）有最大（小）值，且最大值与最小值互为相反数。 3. 偶函数特性 （1） 若.f(x）（x既是偶函数，则f（)=.f(x） （x恒成立。 （2） 若偶函数.f(x）在x=0处可导，则(x）=0 （3） 若偶函数.f(x）的定义域为D,A,B是数集D的关于原点对称的两个子集，则函数.f(x）f（x）在数集A,B上的值域相同 4. 函数奇偶性的运算 （1）偶函数偶函数=偶函数 奇函数奇函数=奇函数 （2）偶函数偶函数=偶函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数（同偶异奇） （3） 复合函数的内层，外层函数都具有奇偶性时，有偶即偶，两奇为奇 考点一 函数奇偶性的判定 例1：函数y=是（ ） A. 奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 变式1：判断函数f(x)=的奇偶性 变式2：判断函数y=的奇偶性 考点二 函数奇偶性的运算 例2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数与奇函数，则下列结论成立的是（ ） A.f(x）+是偶函数 B.f(x）-是奇函数 Cg(x）+ 是偶函数 D. -g(x）是奇函数 变式1：已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 考点三：函数奇偶性的应用 例3：已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 考点四：函数奇偶性的应用 例4：设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）， 求证f（x）是偶函数． 限时训练 1.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）. A．f(x)+|g(x)|是偶函数 B．f(x)-|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．|f(x)|- g(x)是奇函数 2.下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝lg|x| C．y＝(x－1)2 D．y＝2x 3．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 4．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ） A．a=，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ） A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2） 6．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ） A．－26 B．－18 C．－10 D．10 7.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 8．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围． 9．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0， 试证f（x）是偶函数． 10.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时