专题14动点问题（最值和存在性问题）- 2020年中考数学母题题源解密（新疆专用）

专题14动点问题（最值和存在性问题） 【母题来源】2020年新疆中考数学-15 【母题题文】如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____. 【试题解析】 分析：取AC得中点F，过F作FG⊥BC于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则FD+AD=AD+DE=AE，此时AD+FA最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案. 解：如图 ∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2， ∴∠C=30°，BA=4,AC=， 取AC的中点F，过F作FG⊥BC于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则FD+AD=AD+DE=AE，此时AD+FA最短， ∵∠C=30°，CF=, ∴FG=EG=,， 过A作AH⊥BC于H，则由， ∴AH=, ∴BH=1,HG=4-1-， ∵AH⊥BC,FG⊥BC， ∴AH∥FG， ∴△EDG∽△ADH， ∴， ∴，， ∴BD=2， ∴D为BC的中点， ∴， ∴AD+FA=3， ∴2DF=DC， ∴2AD+CD=2AD+2DF=2(AD+DF)=6， 即2AD+CD的最小值为6. 故答案为：6. 点睛：本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键. 【命题意图】 几何问题一直都是新疆中考中比较难的部分，一般作为填空或选择的压轴题，考察学生对于几何知识点：全等三角形，四边形，相似等几何方法的证明方法和相应模型思想的考察。考察学生对于常见几何条件的分析、理解、应用能力，较为综合。 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来新疆中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。 【命题方向】 在近几年新疆中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。 折叠型问题是近年来新疆中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。 【得分要点】 几何中的最值问题 几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”. 求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法： 线段最大（小）值 线段差最大 线段和(周长)最小 平移 对称 旋转 平移 对称 旋转 转化 构造三角形 使目标线段与定长线段构成三角形 使点在线同侧 （如下图） 使点在线异侧 （如下图） 两点之间，线段最短 垂线段最短 三角形三边关系定理 三点共线时取得最值 常用定理： 1、两点之间，线段最短（已知两个定点时） 2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） |PA-PB|最大， 需转化，使点在线同侧 PA+PB最小， 需转化，使点在线异侧 4、 圆外一点P与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P最近的点即为P到圆的最近距离，离P最远的点即为P到圆的最远距离； 5、 模型介绍 1．【乌鲁木齐2020年新市区中考三模】一张直角三角形纸片ABC，，AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当 是直角三角形时，则CD的长为____. 2．【乌鲁木齐2020年70中中考三模】如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，点N在AC上，且AN=2,点M在BC上且BM等于BC的，P为对角线BD上一个动点，则|PM-PN|的最大值为 ； 3．【乌鲁木齐2020年113中中考模拟】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ; 4．【乌鲁木齐2020年中考二模】在矩形ABCD中，AB=8