11 求解参数范围与最值问题的题型与方法.（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

重点解析 学 求解参数范围与最值问题的题型与方法 凵高贵卓 参数的范围问题,是解析儿何中的一类常见问 题,解决这类问题的关键是构造含参数的不等式,通 过解不等式求出参数的范围,根与系数的关系、曲线 椭圆方程为:1×2 1与方程的关系等在构造不等式起着重要作用 (2)设l:y=e(x-1),A(x1,y),B(x2,y) 参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种 JOA 2+OB2<AB (1)几何法:若题囗的条件和结论能明显体现几 B 何特征利意义,则考虑利用图形性质构造含参数的不 OAB 等式,通过解不等式解出参数的范围和最值 ∴∠AOB为钝角,O·O=xx k(x-1) 2)代数法:在利用代数法解决范围与最值问题 联立直线与椭圆方程 时常从以下五个方面考虑 62x2+a2y2=a2b2 利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的+a2k2(x-1)2=a2B,整理可得: 二取值范围 k十b)x2-2a22x+ak-a2b ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这 tx k2+b2 类问题的关键是建立两个参数之间的等量关系; 利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而 =k2x1x2-k2(x1+x2)+k 求出参数的取值范围 ④利川基木不等式求出参数的取值范围; 2 ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值 kt-a'bki 范围 参数范围问题 x2+y=2△F= 例1如图,椭圆+=1(a>b>0)的一个焦 k-a3b2+kB-a3bk2<0恒成立,即k2( tt F恒成立, 点是F(1,0),O为坐标原点 (1)若椭圆短轴的两个三等 当k=0时,不等式恒成立 分点与一个焦点构成正三角形 当k≠0时,“+b-a2B2 2恒成立 求椭圆的方程 (2)设过点F且不垂直x轴 而 的自线l交椭圆于A,H两点,若 毙L绕点F任意转动,恒有OA|2+(OB|2<|AB|2 1)b=b 求a的取值范围 解:(1)由图可得:M(0,1b)出正三角形性质可 的取值范围是(1+5,+∞) 得:∠MFO 二、方程中参数范围问题 例2(2016高考江苏卷)如图,在平而直角巫标 系zOy中,已知直线l:-y-2=0,抛物线C 48 点解析 数学 2力z(p>0) 支上因为∠IF2F1为锐角,则 由双曲线的 1)若直线L过抛物线C的焦 统一定义得|PF1|=2x+1,|PF2|=2x-1,因为 点,求抛物线C的方程; ∠F1PF2为锐角,则PF1|12|PF FF (2)知抛物线C上存在关于 直线l对称的相异两点P和Q 即(2x+1)2+(2x-1)2>>42,解得 所以 ①求证:线段PQ的屮点坐标为(2p,p); ②求p的取值池围 解析:(1)抛物线C: pz(p>0)的焦点为 故|PF1F2|=4x∈(2√7,8) 点评:先由对称性可设点P在右支上,进而可得 PF1和|PF2|,再由△F1PF2为锐角三角形可得 由点(,0)在直线txy-2=0上,得2一0-1PF1|+1PF F1F|,进而可得x的不等式, 解不等式可得|PF1|+|PF2|的取值范围 2=0,即p=4 四、斜率范围问题 所以抛物线C的方程为y2=8x (2)设点P(x1,M1),Q(x,y),线段PQ的中点 例4(2016年高考全国Ⅱ卷理数)已知椭圆E ]的焦点在x轴上,A是F的左顶点,斜率 因为点P和Q关于直线Z对称,所以直线垂直为(k>0)的直线交EA,M两点,点N在E上, 平分线段PQ MA⊥N 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为 (1)当t=1,|AM|=|AN时,求△AMN的 面积 去x得 2p=0(关) (2)2AM=AN时,求k的取值范围 分析:(1)先求直线AM的方程,再求点M的纵高 因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y坐标,最后求△AMN的面积:(2)设M(x1,y),将直 线AM的方程与椭圆方积组成方稈组,消去y,用表 从而△=(2p)2-4(-2如)>0,化简得p+2示x1,从而表示|AM|,同連用k表示|AN|,再巾 方程(x)的两根为y,2=-p+√p2+2m,从而 解:设M(x1,y),则由题意知 y1 tya (1)当t=4时,E的方程为4+3 因为M(x,y0)在直线l上,所以x 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角 因此线段PQ的中点坐标为(2一p,p) 为 因为M(2一p,-p)在直线y b上 因此直线AM的方程为y=x 所以一=一(2一p)+b,即b=2-2p 由①知p+26>0,是p+2(22p)>0,所以p 2代入4+2=1得7y212y=0.解 得y=0或 所以 因此p的取值范围为(0, 因此△AM的而积 三、求线段问题的范围 例3(206年考浙江文数)设双出线x一 (2)出题意t>3,>0,A(~V,0) 将直线AM的方