12 等差数列中等比数列子数列的探究（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

重点解析 等差数列中等比数列子数列的探究 凵熊如佐 问题提出 等式,说明用n表小出的m一定是正整数,说明过程 等差数列和等比数列是高屮数学的重要内容,也 需要用二项式定理 是高考说明中的两个C级考点,其难度水平不言而 3.从构造等比数列的过程可以发现,只要等差数 喻通过对数列考题的梳理发现在等差数列中探究列在两项其后项与前项的比为整数则一定存 等比数列是常考问题之一本文力求给出解决该类在等比数列∫数列 问題的一般思路和方法,供同学们复习时参考 结论:一个公差卡零的无穷等差数列{an}中,如 二、问题解决 果存在两项an(n<mn),使。为正整数,则该数 例 从数列an}中取出部分项,并将它们按列中·定存在无穷等比数列子数列 原来的顺序纠成一个数列,称之为数列{an的一个子 例2等差数列{an}的通项为 数列.等差数列{an}的通项为an=3n-2,n∈N,数N,试确定等比数列子数列公比的最小值 高三列{an弹中否存在不同的三项(按原来的顺序)成等解题分析:数列{an}的每·项都是正整数且是 比数列?数列{an}屮是否存在无穷等比数列子数列?递增数列,所以先确定其等比数列子数列的公比一定 解题分析:与出数列的一些项:1,4,7,10,13,16,是不小于2的整数,再运用子数列十项的双重性建立 19,……,观察可以发现,其中1,A,16成等比数列,即等量关系,确定公此的最小值 41,a2,as成等比数列,且公比为4是否存在无穷等比 解法:an=3n-2,n∈N知,a2∈N,an2-1 数列子数列,只要判断在上面的等比数列,即首项为41,记其等比数列子数列a的公比为q,首项为 公比为4的等比数列中任意一项都是等差数列420g≥2且q∈N,否则,一定存在n∈N“使as2 的项 解法:出an=3n-2得a1=1 ,a6=16,所 由a是等差数列的第k项,同时又是等比数列 以有在不同的三项成等比数列,且公比为4.下证等比的第n项,得a2=a2+(kn一k1)X3,4=4q 数列的第4项也是等差数列中的项,记an,足数列的 所以ak+(k一k)×3=a1q 第四项,则 ∈N (n1-6) 4,所以n=6+4×(6-2),同理,可以 巾于4不是3的倍数,所以当n∈N时q 必是3的倍数 算得等比数列的第五项an其中m=m1+4×(m1 当n2≥2,n∈N时 6),……依次可以得到下一项,从而一定存在无穷等…g1),其中q2+84…g11的公约数 比数列子数列 为1,从而q-1必是3的倍数 反思:1.探究数列问题常常从写出数列的前几项 所以公比q的最小值为4 观察开始 反思:1.等差数列中的等比数列f数列问题,特 2.说明等差数列中存在无穷等比数列子数列是别要关注子数列的项在不同数列中的表 通过构造等比数列的后一项,来说明该项一定在等差 在解决问题的过程中,用到了等差等比数列的 数刎中,其中用到比例的性质,也可以从等比数列的基本性质,还涉及整除、因式分解等数论相关基础知 通项人手,说明等比数列中的仟意项都在等差数列识,本题中等差数列的各项均为整数,易得等比数列 屮,即由等比数列的第n项是等差数列的第m项列出子数列的公比为正整数,实际上,一般等差数列若存