13 例谈导数在函数中的几种典型运用（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

解题方法 例谈导数在函数中的几种典型运用 范习昱 导数是研究函数性质的重要工具,正是囚为导数 当0<z1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1 的引入,使得我们认识函数研究函数能够上升到 时,g(x)<0,则f(x)>0 定的高度,解决与数相关问题的视野史宽广,方法 综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范是 更为简捷.爷省市高考数学对导数的运用要求都很 高,命题内容也相当深刻,形式新颖,区分度很高,得 例3已知函数f(x)=x2+(1a)x2a(a+2)x 到命题专家的青睐,同时也令很多同学失分严重,头+b(a,b∈R 疼不已.其实,我们也不难发现,高考导数相关题型 (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切 般都集中在函数的单调性、极值和最值、零点问题、实线斜率是-3,求a,b的值 际应用问题四个方而.下文以案例的形式加以分类 若两数∫(x)在区问(-1,1)上不单调,求a 例析 的取值范围 单调性相关问题 解析:(1)由题意得 例1已知 数∫ f(x)在[-1,1上是单调减函数,则a的取值范围是 Fr: f(r)=(2x 2a)e+(x? 2axer=[x' 解得b=0,a=-3或a=1 +(2-2a)x-2a]e",由题意,当x∈[-1,1时,f (2)函数f(x)在区间(-1,1)不单调 0恒成立,即x2+(2-2a)x 在x∈_-1,1 由f(x)=0,得x2=a,x2= 时恒成立 令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则 1)2+(2 解得 例2设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导 解 或 两数,f(-1)=0,x>0时,xf(x)-f(x)<0,则 a≠-b 使得f(x)>0成立的x的取值范围是 所以a的取值范围是(-5,-D)U(-,1) 解析:记函数g(x)=f(x) 例4设函数f(x) R.当a/0时,求f(x)的单调减区间 因为当x>0时,x/(x)-f(x)<O 解析:/(x)=20x2+(2a 故当x>0时g(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上 单调递减 令f(x)=0得x= 又因为两数f(x)(x∈R)是奇函数,两数g(x 是偶函数 若a>0,由f(x)<0得0 所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1) f(x)的单调减区间为(0,2); 解题方法 数学 若a<0,①当 今g(x)=32-4x+1+m=0, 由f(x)<0得0<x 当函数有极值时,则△≥0,方程3x24x+1+ 12m=0有实数解 f(x)的单调减区间为(0, 由△=4(1-m)≥=0,得m≤1 当a=-2时,(x)的单调减区间为(0,|∞) ①当m=1时,g 0有实数x ③当4>-2时,一1>1 2/(x)<0得0<x2 2左右两侧均有g(x)>0,故函数g(x)无极值 ②当mx1时,g(x)=0有两个实数根x ∫(x)的单调减区间(0,), (2 m),x2=+(2+√1m),g(x),g(x) 总结:利用导数研究函数单调性问题,般有以情况如下表 下几类题型: 1 (x1+x2) 1.直接求解单调区间或判断函数的单调性 g(x)+ 2.已知单调性求含参函数屮参数的范围; 讨论求含参数的单调性 极大值 版小值 解题的关键是围绕导数的正负展开,灵活运用不 所以当m∈(-∞,1)时,函数g(x)有极值 等式、两数相关知识破解难 当x=1(2-√门-m)时,g(x)有极大值;当x= 二、极值、最值相关问题 例5已知函数f(x)=x3+mx2+x+2的两 3(2+1-m)时,g有极小值 极值点祁在区间(-1,1)内,则正数m的取值范围是 总结利川导数研究函数极值、最值相关的问题,高 一般有以下儿类题型: 解析:由題意可知f(x)=0的两个不同解都在 1.直接求解函数的极值、最值或其个数 区间(1,1)内因为f(x)=3x2+2mx+1,所以根 2.已知含参晰数的极值、最值相关信息,求含参 △=(2m)2-4×3×1>0 函数中参数的取值范围 解题的关键依然是围绕导数的止负展丌,注意函 据导函数图象可得 又m>数极值存在的条件,结合函数的图象,特别是结合二 次方程根的分布(包托二次函数的保号性的运用)等 ∫(1)=32m|1>0, 情况综合考虑, 0,解得/3<m 三、零点相关问题 例6已知函数f(x)=x2+2bx2+cx2的图象 例7若函数f(x)=x2+ax2+bx+c有极值点 在与x轴交点处的切线方科是y=5x-10 x1,x2:且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)) (1)求两数f(x)的解析式; 2af(x)+b=0的不同实根个数是 (2)设函数g(a)=f(x)+mx,若g(x)的极值 解析:巾∫(x)=3x212ax|b=0得,x=x1或x x,即3(f(x)2+2af(x