15 处理模长问题常见策略（数学部分）-2019年5-6月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

解题方法 椒学 处理模长问题帝见策略 凵胡磊 平面向量集数与形为一体,沟通代数、儿何与三 =√3(x-3),3≤x 角函数,作为高考的重要考点,经常出现在填空题的 压轴题中,尤其是模长问题,为了帮助大家学,整理 而 +y2=x2+3(x 归纳出了处理平而向量模长问题的常见策略. x+27=4(x 策略一:直角坐标系法 直角坐标系法是处理平面向量模长的常用方法 ∷当x=时A声取到最大值 过已知条件建立合适的坐标系,把点的坐标表示出 12)a=13,即A声的最大值为√13 来,则向量的坐标就可以求出来,从而平面向量的模 点评:本题考查了向量在几何中的应用问题;建 长可利用数量积的运算求得. 立直角坐标系是解题的关键,求出点P的轨迹方程 例1等边 的边长为4,点P是△ABC内利用其几何意义硝定模长最大值 包边界)的一动点日A声=Ab+4入AC(∈ 策略二:向量基底法 R),则AF的最大值为 如果题目不能建立坐标系求解,可以尝试向量的 分析以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建基底法,它足处理平面向量模长问题的主要方法,就 立平面直角坐标系,设P(x,y),根据向量的坐标运算是根据平面向量的基本定理选择向量的基底把相 求得y=√3(x-3),当该直线与直线BC相交时 关向量利川基底表示出来,最斤求模长 卢|取得最大值 例2如图,在边长为1的正△ABC中点G为 边BC上的屮点,线段AB,AC上的动点D,E分别满 解析:以A为原点,以AB所 在的直线为x轴,建立如图所示 足D点=A,EC=(2-3)AC(A为实数),设DE的 的坐标系 1BC是边长为4 点为F,则线段FG长度的取值 范围为 的等边三角形,∴A(0,0),B(4,4 分析:根据向量的基本定理 先确定某底,表示F,再川二次 设点P为(x,y),0≤2x≤4,0 两数求取值范围 y23,市=3A+AC(A∈R), 解析:∵D=入 D=( x,y)=8(1,0)+x(2,23)=(3十 √3(x-3)① /1AB+IAC-1AD-LAEX 而直线BC的方程是:y=-3(x-4)② ∵对称轴为λ 2,∴次函数72 出①②解得:,则点P的轨迹方程为 4在-3,3]上递减,=3时,|FG取得最小值 6 解题方法 3=3时,F取得最人值6,故线段FG的长 sina,(4-Co 度的取值范围是 na+c0sa=sin(q-a),其中 点评本题考查了向量数乘和线性运算,根括向 sina 5 COSp=g, 量的基本定理,表示出F,再用二次函数求取值范围. 策略三:平方法 ∴+t的最小值为 如果题口出现夹角和模长时,一般通过平方法 点评;本题考查了平面向量的基本定理,通过三 再结合向量数量积公式,可得所要求的向量的模长的角换元,把河题转化为利用三角画教有界性求最值 关系式 题 例3平面向量a,b,C两两所成角相等,且|a 策略五:构造几何模型法 1,b|=2.c|=3,则|a+b+c为 向量只冇几何特征和代数特征,挖掘题口几何特 分析:平面向量a,b,c两所成角相等,可得征,构造几何模型,对问题解决具有快捷的效果 两两所成角为0°或120°.再利川数量积运算性质即可例5已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若 得出 非零向量a与e的夹角为,问量b满足b2-1e·b 解析:平面向量a,b,c两两所成角相等,∴两 两所成角为0或12 +3=0,则ab的最小值是 a|=1,|b=2,c=3,当所成角为120时 分析:把已知b2-4e·b+3=0变形,可得b的终 点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,再巾已知 得到a的终点在不含端点O的两条射线y= 3,则 画出图形,数形结合得答案 |a+b+c|=√a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)= 解析:由b 得(b-e)·(b-3e) 0,∴(b-e)⊥(b 如图,不妨 12+22+32+2( 2-3)=3. 设e=(1,0),则b的终点在以(2 同理可得:当所成角为0时,则a+b+c=1+20)为圆心,以1为半径的圆周上 十3=6.故答案为:3或6 又非零向量a与e的夹角为 点评:本题考查了数量积运算性质、向量夹角 ,则a的终点在不含端点O的两 查了推理能力与计算能力,因为两两所成角相等,所 以两两所成角为0或13°,容易出现漏解的错误, 条射线y=士3x(x>0)上.不妨以y=√3x为例,则 策略四:三角换元法 b|的最小值是点(2,0)到直线3x-y=0的距离 当题目有圆的几何特征,那么我们可以根据圆 参数方程,利用三角换元法解决平面向量的模长 423 1=3-1 例4已知点N冰若O=+O,则知构造几何图形是解决问题的关纪电方法,根已 0,-1),B(2,0),O为坐标原点 点评:本题考查平面向量的数量积运算,考查数 学转化思想方法