18 消参-解答圆锥曲线问题的一个有力工具（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 消参——解答圆锥曲线问题的一个有力工具 凵景在荣 含有参数的圆锥曲线问题是高考的一个热点问 i A(z, 31), B(xz, y2), M(r, y), 题,同时引入参数解答圆锥H线问题也是一个常川技 巧,这些祁得用到消去参数达到解题的月的,因此,消 则(x,y)=(x.:y2(x2,y), 参就必需掌握一定的方法与技巧,下面先从一道题的 求解说起 引例知椭囡C:4+y=1,过A(,1)且斜 率为k的直线交椭圆C于A、B,M在椭圆上,且满足 OM立=OA+2O求k的值 解法1:直接求解法,适合」消参后的一元二次方 整理得:4 高二程的根比较好解的情况注意利用乘法公式化简 过A(0,1)且斜率为k的直线为y=kx11,代入 椭圆方程巾,消去y并整理得:(1+4k2)x2+8kx=0, 注意到x2+听=x2+y=1,于是上式化为 解得x1=0,2=-1+4,注意到A(O,1) 0,即 可得B 又x1、x2=0,x1+、x 4k2 即B( 设M 34(1-3)k 解法3:转化结论,间接求解,就是求出直线上两 2(1+4尺2) 点的坐标即可,般不用此法,但对于本题,却是 常简单,就是充分利用题目的特殊性 设B(x,y),又A(0,1),J是OM + 1+42)2+(1+/3+4(1-3)k)2=1 去分母得 OO=(0,1)2(x,y) 1+3+(1-√3)22=4(1+42)2 又(x,y),M(x,十 展丌鹳理得=1 解法2:和用元次的方程的根与系数关系,注y)在椭网C:1y=1上,于是 意利用鹎体代人 过A(0,1)月斜率为k的直线为y=kx+1,代入 椭圆方程中,消去y并整理 (1+4k2)x28kx=0 56 解题方法 椒学 十y 即 1)-(2)消去x"、y得:y=0, ∴M,N为直线x0x:+yy 的点 x=±2.即B(士2,0),又A(0,1), 因为两点唯一确定一条直线, ∴MN:xoz 即 这里再举两例 例1已知椭圆C 2=1(a>b>0)右焦截式叮知m=4,=42 为F(1,0),且点P )在椭圆C上,O为坐标 原点 Q在椭圆C1上,∵x+31=4 (1)求椭圆C的标准方程 (2)过椭圆Cn1:+ 1上异于其顶点的 即。+立为定值 任点Q,作圆O1x2+y=4的切线,切点分别为 点评:(1)本题定值是通过壑体代入的手段,即抓 M,N(M,N不在坐标轴上),若直线MN的横纵截距住最后珩|3=4的特点整体消去x,%所得,所 分别为m,n,求证:3m2+n为定值 以在处理定值问题时,涉及的变量个数可以多,但是 要有一定的条件保证能够消去 解:(1)依F(1,0)知c=1,∴椭圆方程为当 (2)本题求直线MN方程的过程即为切点弦公式 证明的过程,此时抓住两点所在方程“同构”的特点, 1=1代人P(,2)解得 从而确定直线方程 注:切点弦方程:过圆外一点Q圆:x2+y2=r 椭圆方程为+=1 的切线,切点为A,B,则切点弦AB的方程为:x0x+ (2)(1)可得 例2(2018年高考北京理)已知抛物线C:y2 px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线 C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M 设Q(x0,y),∴可知MN是过Q作圆切线所产直线PB交y轴」N 生的切点弦 (1)求直线l的斜率的取值范围 y),N(x,w),由M,N是切点可得 (2)设O为原点立=Q,Q=1Q,求证 O⊥MQ),ON⊥NQ 分析:(1)先确定p,再设直线方程,与抛物线联 ∴MQ:y 立,根据判别式大于零解得直线L的斜率的取值范 闱最后根据PA,PB与y轴相交,含去k=3:(2)先 代入M( 设A 与抛物线联立,根据达定 即xxyy=x十y,同理可知对于NQ,有理可得x+x2 再由QM 因为M,N在圆O:x2+y2=4 PA,PB的方程分别得点M,N的纵坐标,代入化简 解题方法 可得结论 同理得点N的纵坐标为 1)囚为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所 出Q=AQ),Q=PQ得 以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4 yA.所以 由题意可知直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0 得k2x2+(2k-4)x+ (-1)1(k—1) 依题意Δ=(2k4)24×k×1>0,解得k<0 或0<k<1 又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点 ).从而k≠-3 所以直线Z斜率的取值范围足( 为定值 (2)设A(m1 点评:定值问懸通常是通过设参数或取特殊值来 山(1)知x1+x2 值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化 为代效式或三角问题,证明该式是恒定的.定值问题 直线P的方积为 同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因 令x=0,得点M的纵坐标为 此求解时应设参数,运