12 《导数及其应用》重点知识解析（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 导数及其应用》重点知识解析 凵朱振华 考情分析 的y=f(x)的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标 导数在高屮阶段是解决实际问题的重要数学工得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点特别 具,运用导数知识研究函数的性质:单调性摄值和地,如果曲线y=/(x)在点(xm,(x)处的切线平行 最值是考查的热点.考查的形式通常以填空题和解答 v轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方 题出现,导数的基本概念、运算及导数的应用主要以为x=x 填仝题的形式考查,一般难度不大,属于中低档题:以 二)导数的运算 解答题形式的考查,主要综合利用导数研究兩数的单 常见函数的导 调性、柲值、最值,般与不等式、数如、解析几何等其 )(kx+6)=(k,b为常数) 数学知识结合起来,往往以压轴题形式出现,多为 C=0(C为常数); 中高档题 二、重点知识梳理 m(一)导数的概念和几何意义 1.导数的定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)h 有定义,∈(),若△x无限趋近于0时,比值△x2 f(xo+△x)-f(x 无限趋近于一个常数A,则称 (x)=ax(a为常数); (9)(a2)=2lna(a>>0,a≠1); 函数f(x)在x=x处可导,并称该常数A为函数 f(x)在x=x处的导数,记作f(x).函数f(x)在x (10)(log,z =x处导数的实质是在该点的瞬时变化卒 2.求函数导的基本步骤:(1)求函数的增量△y (x+△x)f(x);(2)求平均变化率 (12)(lnx (3)取极限,当△x无限趋近与 (13(sinr)=cos (14)(Osx 时,f(x+△x)f(x2无限趋近与一个常数A,则 2.函数的和、差、积、商的导数: (1)Lf(x)士g(x)=f(x)±g'(x) (2[C/(x)]=C/(x)(C为常数) 导数的几何意义:函数∫(x)在 处的导 (3)Lf(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x); 数就是山线y=f(x)在点(x,f(x0))处的切线的斜 率.巾此,可以利川导数求曲线的切线方程,只体求法 (4f(2)y=f()g()=(x)(x2 g2(x) 分两步 简单复合函数的导数: 1)求出y=f(x)在x=x0处的导数,即为世线y 若y=f(u),l=ax+b,则y2=y·a2,即 f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得 (三)导数的应用 切线方程为y 1.求函数的单调性 当点P(m0,y)不在y=f(x)上时,求经过点P 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数y 重点解祈 椒学 等腰直角三角形斜边的两端点.设A=FB (|)求两数g(x)的单调区间 (i)求证:x>0时,不等式g(x)≥1+1nx恒 成立 解:(1)f(x) ∴当f(x)=0时,x=0或x=,又a>0 当x∈(-∞,0)时,f(x)<0;当x∈(0 (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最人 试问x应取何值 时,f(x) 2)某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最人,试问 当x∈(-,+∞)时,f(x) x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的 f(x)的极小值为f(0)=0, 解析:设包装盒的高为h(cπ),底囿迦长为 (x)的极大值为f(a)=62 巾已知得a=2x ()记h(x) +1,则h'(x 8(xz-15)2+1800 当x∈(-∞,1)时,h(x)<0,h(x)足减函数 所以当x=15时,S取得最大值 x∈(1,十∞)时,h(x)>0,h(x)是增函数 则=6√2x(20 巾V=0得x=0(合)或x=20 当x∈(0,2)时,>0;当x∈(20,30)时, ∴两数g(x)的单调递增区问足(,+∞),单调 递减区间是(-x,0) 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值 (ⅱ)证明:x>0时,g(x)=x(-cx+1)≥1 此时 即当x=20时,包装盒的容积最 Inztef-ex+1.I+Inr 由(|)知,h(x) 大,此时包装盒的高与底面边长的比值为 点评:本题是利用导数知识解决生活中的优化问 题,化解此类问题的基本方法是把“问题情境”转译 在区间(0,1)上,g(x)>0,g(x)是增函数 数学语言,找出问题的主要关系,建立目标函数,导数 在区间(1,+c)上g(x)<0,g(x是减函数, 是求解其最值的一种有效工 ∴g(x)≤g(1)=0,即1+nx 题型五:利用导数研究函数、方程、不等式等的综 合问题 1+nx,即g(x) 利用导数解决函数、方程、不等式等综合问题是成立 导数的重要应用,解决这类综合性问题除了要熟练 点评:题主要考查函数求导、函数的单调区间 握导数这个解題工具外还要熟练运用转化与化归思极值、最值和不等式的证明,利