13 导数一破解零点综合问题的杀手锏（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 椒学 1)若 明:当x≥0时,(x)≥1; (2)也可以先求导,通过求导分析函数的单调情 2)若f(x)在(0,+cx)只有一个零点,求a 况,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本 解:(1)当a=1时,f 身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需 要构造新函数,借助导数研宛函数的单调性、极值等 令g(x)=f(x)=e-2x 层层推理得解 g(x)=e-2,g(x)在(0,hn2单调递减, 三、已知存在零点,证明零点的性质 在(ln2,十x)单调递增 例3已知函数f(x)=lnx+x+(a∈ 在[0,|∞)单调递增,(x)≥f(0) (1)若函数f(x)在[1,+)上为增函数,求a的 恒成立 取值范围: 2)由f(x) 0得 汇父e 设 2)若两数g(x)=xf(x)-(a+1)x2-x有两 数h(x)=1-ax2c 不同的极值点,记作x1,x,且x1<观,证明:a1·x f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点当且仅当(c为白然对数的底数 h(x)在区间(0,c∞)只有一个零点 解析:(1)巾题可知,两数f(x)的定义域为(0 (i)当4≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点 出a>(时,h(x)=4x(x-2)e ∈ 时,h(x)<0;当x∈(2,+∞)时 因为函数f(x)在区间[1,∞)上为增函数 h(x)>0. 所以f(x)≥=0在区间L1,+∞)上恒成立,等价 所以h(x)在区间(0,2)单调递减,在区间 于《(x2+x)-m,即a≤2 十<∞)单调递增. 所以a的取值范围是( (2)题得,g(x)=clnx-ax2 故h(2)=1-是(x)在区间(,+)的最=1nx-2ax, 小值 因为g(x)有两个极值点x,x2,所以lnxr ①若h(2)>0,即a≤,(x)在区间(,+∞)没 Barl,Inxs=2a: 欲证x·x>e等价于证ln(x1·2)>ne,即 有零点; lna1+2lnx2>3,所以ax1+2ax ②若(2)=0,ah(x)在区间(,十e)只 因为0≤m≤x2,所以原不等式等价于 有一个零点 ③若h(2)<0,即a 巾于五(0)=1,所以 h(x)在区问(0,2)有一个零点, 巾tnx 2ax2,可得n22=2a( h(1)知,当x>0时,e>x2,所以h(a)=1 ),则a 散h(x)在区间(2,a)有一个零点,因此h(x)在 In 区间(,+∞)有两个零点 巾①②可知,原不等式等价于 x1“x+2x 综上,f(x)在区间(0,+∞)只有一个零点时 点晴:已知区间上有零点,求参数的范围问题.往 往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂,也没有 设2=t,则t>1,则上式等价」nt>1+22(t 定的形状特点,所以在研究此类问题时,可以从两 面去思考 (1)根据区间上零点的个数情况,估计出函数图 令h(t=lnt- (t>1),则h(t)= 的大致形状,从而推导出导数需要满足的条件,进3(1+2)-6(-1) 而求出参数满足的条件; t(1+2t) 4}-45