14 简化解析几何运算的几个实用技巧（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

重点解祈 椒学 简化解析几何运算的几个实用技巧 凵李琳 中学解析儿何是将儿何图形置于直角坐标系中,y轴于点N.若M为FN的中点,则 用方程的观点来研究曲线,体现了用代数的方法解决 几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的 解析:如图所示,不妨设点M 讨论,这些都会影响解题的速度,甚至会中止解题的位于第一象限,设抛物线的准线与 过程达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中,在x轴交于点F,作MB⊥l垂足为 规定的时间内,保质保量完成解题的仟务,计算能力B,NA4⊥l与 是一个重要的方面.为此,从以下几个方面探索减轻 巾抛物线的解析式可得准线方程为x=-2,则 算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维AN=2,FF=4 在角梯形ANFF中,中位线成AN|FF 巧用定义,揭示本质 定义是导出其性质的“发源地”,解题时,应善 运用圆锥山线的定义,以数形结合思想为指导,把定 血抛物线的定义有:MF=MB=3,结合题意,有高二 量的分析有机结合起来,则可使解题计算量简化,使 MF=MA 解题构筑在较高的水平上, 线段FN的长度:FN|=|FM+|NM|=3 6 例1(2018年高考新课标Ⅱ卷文)已知F1,F2 点睛:挞物线的定义是解决樾物线问题的基础 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物 PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 分析:设|PF2|=m,则根据平面几何知识可求 上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中 F1F2|,Ph1,再结合椭圆定义可求离心率 涉及拋物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那 解:在△F1PF2中 F1=90°,∠PH2F1 么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的 焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定 设|PF2|=m,则2c=F1F2|=2m,|PF 义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简 单化 又由椭圆定义可知2a=|PF1+|PF2|=(3 二、利用不变量,简化运算量 由于圆锥曲线的焦点、顶点、推线之间的对应 系离心率反山线的有关距离与位置无关,因而,在解 则离心率e= 2a(3+1) 题时能抓住这些不变量,可以简化运算量 点睛:梢圆定义的应用主要有两个方面:一是判 例3若直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的 断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用焦点,并且与x轴垂直,若被抛物线截得的线段长 求焦点三角形的周长、面积、椭國的弦长及最值 为4,则a= 和离心率问题等;“焦点三角形”是精圆问题中的常考 解析:过抛物线y2=a(x+1)的焦点,且与x轴 知识点,在解决这类问颞时经常会用到正弦定理,余垂直的弦长与过抛物线y2=ax的焦点,且与x轴垂 定理以及椭圆的定义 直的弦长相等,即抛物线的通径的长度与抛物线位置 例2(2017年高考课标Ⅱ卷理)已知F是抛物无关,所以,很容易得出a=+,又巾于已知 线C:y2=8C的焦点,M是C上·点,FM的延长线交本题应该填上数字4 重点解析 设而不求,整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题 由题设知=1,+ 涉及求中点弦所在直线的方程,或弦的中点的轨迹方 稈的叫题时,常常可以用“代点法”求解 于是b==mn;① 例4(2018年全国卷Ⅲ文)已知点M(-1,1)和 抛物线Cy=4x,过C的焦点月斜率为k的直线与C M1,m)在椭圆内…+2 交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= 分析:利川点差法进行计算即可 2)由题意得F(1,0),设P(x3,y),则(x-1 解:设A(x1,w),B(x2,y2),则 所 4x-1x2,所以k=2 (1)及题设得x=3-(x1|x2)=1 取AB中点M(x,y),分别过点A,B作准线x 1的垂线,垂足分别为A',B,因为∠AMB=90 又点P在C上,所以m M△M|=2AH=2(AF+|BF) 从而P(1, F 因为M为AB中点,所以MM平行于x轴 1)2+3(1-4 因为M(-1,1),所以y=1,则y1+y2=2即k =2,故答笨为 问理|FB|=2 青:题主要考查直线与抛物线的位置 考查了抛物线的性质,设A(x1,y),B(x2,y),利用 所以+F=41(x1+2)=8 差法得到k=2二M= 取AB中点M( 故2|F|=F+球,即A,F,|F ),分别过点A,B作准线x=1的垂线,垂足分别 成等差数 设该数列的公差为d,则 为A,B,由抛物线的性质得到MM|=(AA 2l=1-F=1|x |BB|),进而得到斜率 例5(2018年高考新课标Ⅲ卷理)已知斜率为 的白线Z与椭圆C:+3=1交于A,B两点,线段 人①得 AB的中点为M(1,m)(m>() (1)证叨:k<1 所以的方程为y=-x+,代入