15 化归与转化在直线与平面垂直中的应用（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 化归与转化在直线与平面垂直中的应用 赵春祥 转化与化归思想是一种重要的思维模式,也是解 DD⊥平面ABCD,EFC平面ABCD 次数学问题的一种要的思想和方法.所谓转化与化 DD1⊥EF,DD∩BD=D 归思想,就是把待解决或未解决的一些数学问题,通 ∴HF⊥平面BB1,HD二平面BDB1 过某种转化过程,归结到一类已经能解决或者比较容 EF⊥BD1,同理BD1⊥EG 易解决的问题中去,这是一种由未知到已知,市难到 B⊥平面FF 易,由繁到简的解题手段.“直线与平面”这一章里蕴 评析:证明线面垂直,常常先证线线垂直,而证线 涵」很十富的数学思想方法,其转化与化归思想是线垂直,通常又是倩助线面垂直完成的 最典型、最实用并且应用最广泛的思想方法之一.下 例3如图,知PA⊥矩形ABCD所在的平面 而就这种思想方法在直线与平而垂直的应用分析M,N分别是AB,PC的点 几例,供同学们学习时参 1)求证:MN∥平面PAD; 例1如图所小,ABCD为正方形,SA垂直于 ABC)所在平面,过A且垂直于S的平面分别交 3)若∠PDA=45,求证:分 SC、SD于E、F M⊥平面P 求证:AE⊥SB,AG⊥SD 分析:(1)要证明MN∥平面PAD,须证MN平 分析:微证线垂自,可证D一AB,PC的中点可取PD的中点E,从而只须证 行于平血PAD内某·条直线,注意到M,N分别为 垂直 证明:∵SA⊥平面ABCI MN∥E即可 BCC平面ABCD,∵S1⊥BC 证明:(1)取PD的中点E,连接AE,EN,则EN 又AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB. 又AFC平面SAB,∴HC⊥AE ∠ CDAB∥AM,故AMNE为平行四边形,所 SC⊥平而AEFG,∴ SCLAE. 以MN∥AE HC∩S=C,C平面SBC,SC平面SBC: 因为AEC平面PAD,MN平面PAD,所以 ∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB MN∥平面PAD 同理AG⊥SD (2)要证MN⊥(I),可证MN⊥AH.(1)知,需 评析:在线线垂直与线面垂直的转化中,平面在证AE⊥AB 其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在的平 因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,又A 面特征,从而顺利实现证明需要的转化 ⊥A 例2知币方体 ABCDA1L1C1D2中,E、F、G 所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥AF即AB⊥ 分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求MN,又CD∥AB,所以MN⊥CI 证:BD1⊥平面EFG 3)因为PA⊥平面ABCD),所以PA⊥AD 分析:根据条件,在正方体中易得EF∥AC,而 又∠PD=45,E为PD的中点 AC⊥B,故B⊥EF,同理D ∠PAD为等腰直角三角形 BD⊥E 所以AE⊥PD,即MN⊥PD. E明:如 1BCD为方 D,PD,CD都在平而PCD上,且PD 体,BE=BF∴EF∥C C∩CD=D,所以M⊥平面PCD 又∵AC⊥BD,∴EF⊥BD 评析:本题是涉及线面平行、线线垂直、线面垂首 解题方法 数学 诸知识点的一道综合题.(1)的关键是选取P)的中 例5如图,在空间四亩体SABC中,已知 点E,所做的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC,证 直←线面垂直←面面垂直是证垂直的转化规律 明:SC⊥平面AMN 例4如图,AB是圆O的直径,C是圆上异于 分析:出结论联想判定定理 A、B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求要证明SC平面AMN,须证明 证:AF⊥平面PBC C垂直于平面AMN中的两条相 分析:欲证AF⊥平面PBC 交直线.已知AM⊥SC,尚缺条件 则需要证明AF垂直于平面PBC SC⊥AN.于是考虑从其他条件所 内的两条相交直线.已知AF⊥ 具备的性质中去寻找 要证AF⊥PH比较树难,可考 证明:∵SA⊥平面AC,而AB为SH在平面 虑证明AF⊥BC,观察图形知,可 ABC中的射影,又由∠ABC=90°,知BC⊥AB 通过证BC⊥平面PAC来实现 由三垂线定理,BC⊥SB,BC⊥平而SAB 证明:∵AB是圆O的直径,∠ACB=9°, ANC平面SAB,∴BC⊥AN. CAC AN⊥SB,∴AN⊥平面SBC,∴SC⊥AN 巾于PA⊥平面ABC,HC平面ABC AM⊥SC,AM和AN是平面AMN内两条相 ∴BC⊥PA 交直线,∴SC⊥平面AMN 乂PA与AC相交日在平面PAC内 评析:本题在运用判定定理证明线面垂直(SC⊥ BC⊥平面PAC 平面AMN)时,将问题化为证明线线垂直(SC⊥ 又∵AFC平而PAC,∴AF⊥BC AN);而证明此线线垂直时,又转化为证明线面垂直 又已知AF⊥PC,且H和PC是平面PBC内的(AN⊥平面 两条相交直