19 破解直线与圆锥曲线位置关系的技巧（数学部分）-2019年1-2月刊高二语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 式法”“根与系数的关系”等思想方法的应用得以充 体现求出面积表达式后,观察結构,运用基本不等式斜率之积等于 (1)求动点P的轨迹方程 求最值时需要“一正二定三相等”.∫( 设直线AP和HP分别与直线x=3交于点 不满足相等这一条件,需要借助函数∫(t)=1(t+MN间:是否存在点P使得∧PAB与∧PMN的血 积相等?若存在,求H点P的坐标;若不存在,说明 3)在(1,3)上单调遂减,计算即得结论,需要考生有理由 较强的变形、配凑能力,因此要加强基本不等式灵活 解析:(1)x2+3y2=4(x≠±1).(过程略) 应用方面的训练 2)解法1:如图,设点P的 二、追根溯源,回归定义 坐标为(x3,w),点M、N的坐 标分别为( (3,y),则直 解析几何以运算繁琐著称,在解題时充分挖掘题 1口中图形的几何性质,适时地巧用定义,探求最佳的线AP的方程为y1=2+1 解题方法,开发最伟思路,寻求解题规律,可起到化繁 (x+1),直线BP的方程为,y+1 为简、事半功倍的效果 I. 例2过抛物线y=2(p>0)的焦点作倾斜角令2=3,得业=+12 3 于是 为60的直线与抛物线分别交」A、B两点(A在x轴 上方),则 解析:如图,过点A、B作准线 又直线AB的方程为x+y=0,AB=22,点P 的垂线AC、BD,过点B作AC的 到直线AB的距离 垂线B.由抛物线的定义知AC= F,BF=BD.又AE 于是Sm=AB|·d=1x+y 当 ∠BAE=60°,所以∠ABE=30°,所以AE=AB,所 得|xa+y 以AF一BF=(AH+BF),进而求得 又|x0+y6|/0,所以(3-x)2=|x-1,解得 评注:圆锥曲线定义求解的问题往往与焦点或 因为+3=4,所以=士y8 准线有关,通过定义往往可以相互转化,对于楠圆和 双曲线可以通过定义把到左焦点的距离和到右焦点 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等 的距离相互转化,对于抛物线可以通过定义把到焦 的距离和到准线的距离相互转化,于是就有了“看到 此时点P的坐标为(3, 左焦点,想想右焦,点,看到准线想焦点,看到焦点想准 解法2:如图,若存在点P 线”之类的口诀通过定义的应用,再利用数形结合思使得△PAB与△PMN的面积 想,不仅能抓住问题的本质,还能避开复杂的运算,使 相等,设点P的坐标为(x 问题巧妙获解,有事半功倍之效. 三、借助平几,化繁为简 bPA·| PAin∠APB 解析几何综合题以其推理和运算的复杂性让许 PM|·| PN sin∠MPN 多考生望而却步,成为学生数学高考成败的关键.能 不能有效地避开一些繁难的运算,一直是解决解析几 因为sin∠AP=sin∠MPN, 何问题时最为关注的焦点.众所周知,解析几何是用 所以 代数方法研究几何问题的学科,其本质还是几何问 题,如果我们能注重挖掘圆锥曲线的儿何性质,还原 化简得(x0)2=1x8-1,解得x=号 其几何面目,往往会产生巧妙的解法 例3在平面直角坐标系xy屮,点B与点A(-1 因为x+3=4,所以 )关于原点O对称,P是功点,且直线AP与B的 故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等 解题方法 数学 ②得 此时点P的坐标为 +y)(y=y2= 评注:单纯地依赖代数的方法解决解析几何问 题,不光导致运算十分复杂,也有可能导致路无法 因为x1+x2=2,y+y2=2, 展开.所以在解决解析几何河题时,要关注试题中的 所以 几何特征紧密联系平面几何知识,往往能够走出困 境,打开“柳暗花明叉一村”的新局面 所以k 四、代点作差,整体替换 所以此弦所在直线的方程为y1=4(x1) 直线与圆锥山线相交问题T常涉及求弦斜率、 点、垂卣平分线、求轨迹等情况,题山中涉及的交点、即 屮点等问题,若直接求点的坐标,计算量将会很大 答案:x+2y-3=0. “点差法”是通过设相交的两点的坐标,带入到方程再 评注:点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的 作差,求出斜率并利用点求出方程,巧妙地降低计算斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可筒化运算,但 量其体的题目中需根据给出条件,活地运川“点差要注意直线斜率是否存在,运用点法”得出:在楠 圆十 )为中点的弦所在直线 例4已知P(1,1)为椭园x+=1内一定点 经过P引一条弦AB,使此弦被P点平分,则此弦所 的针平4;在双曲线一=1中,以PC, 在直线的方程为 )为中点的弦所在直线的斜卒k 在抛物线 解:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率 y=2p(p>0)中,以P(x,y)为中点的弦所在直线 为k,(x1,w),B(x2,y2) 则+=1① 的斜率k=P、在解题中可直接应用此结论解题. 6