第三章 3.2导数的应用-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

导数的应用 知识梳理 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【知识拓展】 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例题解析 题型一 基础 【例1】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) (6)三次函数在R上必有极大值和极小值．(　　) 【同步练习】 1．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(4，＋∞) D．(－∞，0) 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 题型二　不含参数的函数的单调性 【例2】　(1)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________． 【同步练习】 1、(1)函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　) A．(0，＋∞) B. C．(－∞，－1) D. (2)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减 C．在(0，)上递增 D．在(0，)上递减 题型三　含参数的函数的单调性 【例3】　已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)． (1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 【同步练习】1、讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 题型四　已知函数单调性求参数 【例4】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区