2.6 正多边形与圆-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

正多边形与圆 知识点一、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 例：下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D. 正方形是正四边形 【解答】D 【解析】A选项，平行四边形的四条边、四个角不一定都相等； B选项，矩形四个角相等，但是四条边不一定相等； C选项，菱形四条边相等，但是四个角不一定相等； D选项，正方形的四条边和四个角都相等，故选D. 知识点二、正多边形与圆的关系 一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多边形的半径. 1. 正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径； (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 3. 正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形； （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形； （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心； （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方； （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 例：如图所示，在正六边形ABCDEF中，已知AB＝10，求这个正六边形的半径、周长、面积. 【解答】见解析 【解析】连接CF、BE相交于点O，则O为正六边形的中心，过点O作OH⊥BC，如图所示： 由题意可得∠BOC＝60°，OB＝OC， ∴∠BOH＝30°，， 在△OBH中，正六边形的半径， ， . 知识点三、正多边形的画法 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2. 尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图： （1）正四、八边形： 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. （2）正六、三、十二边形的作法： 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任意画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…… 巩固练习 一．选择题 1． 如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A． B． C． D． 2． 如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（　　） A． B． C． D． 3． 用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（　　） A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 4． 如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（　　） A．2 B． C．3 D． 5． 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 6． 已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　） A．2 B．1 C． D． 二．填空题 7． 如图，以正方形ABCD的BC边向外作正六边形BEFGHC，则∠ABE＝　 　度． 8． 一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　 　度． 9． 已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为　 　． 10．若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一