2.5 直线与圆的位置关系-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

直线与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线与相交 直线与相切 直线与相离 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 例：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB是的切线． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径. 【解答】（1）见解析；（2）3 【解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB为圆的半径， ∴PB为圆O的切线； （2）在Rt△PBD中，PB=6，DB=8， 根据勾股定理得， ∵PD与PB都为圆的切线， ∴PC=PB=6， ∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4， 在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r， 根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42， 解得：r=3， 则圆的半径为3. 知识点三、三角形的内切圆 1. 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. 3. 三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 例：直角三角形的两条直角边分别为8和15，那么这个直角三角形最大能容纳一个直径为几的圆？ 【解答】6 【解析】如图所示： 由勾股定理可求出三角形斜边AB＝17， 设三角形的内切圆的半径为r，则， 即， 解得半径，则直径为6. 知识点四、切线长及切线长定理 1. 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2. 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：. 巩固练习 一．选择题 1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．80° 2．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 3．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P＝40°，那么∠B的度数为（　　） A．40° B．25° C．35° D．45° 5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A