2.5 直线与圆的位置关系-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（苏科版）

(4)如图4,连接 OP,则 OP=2.取 OP 的中点 O',并分别连接O'M,O'N. ∵∠PMO=∠PNO=90°, ∴点O,M,P,N 都在以OP 为直径的☉O'上, ∴O'M=O'N= 1 2OP=1 , ∴MN≤O'M+O'N=2. 且当点 M,O',N 在同一条直线上时,等号成立. 此时∠MO'N=180°, 则∠MPN= 1 2∠MO'N=90°. ∵点O,M,P,N 四点共圆, ∴∠MON=180°-∠MPN=180°-90°=90°, ∴当直径AB 与CD 相交成90°角时,MN 的长 取最大值,其最大值为2. 图4 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.1 切线的性质与判定 变式训练 (1)解:连接CD,∵BC 是☉O 的直径, ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB. ∵AD=DB, ∴AC=BC=2OC=10; (2)证明:连接OD. ∵∠ADC=90°,E 为AC 的中点,∴DE=EC= 1 2AC ,∴∠1=∠2.∵OD=OC,∴∠3=∠4.∵AC 切☉O 于点C,∴AC⊥OC,∴∠1+∠3=∠2+∠4 =90°,即DE⊥OD.∴DE 是☉O 的切线. 巩固练习 1.B 2.B 3.125 4.112.5 5. 25 4 6.12 或4 7.3 8.(1)证明:如图,连接OF, ∵DF 切半圆于点F,∴DF⊥OF. ∵∠AEF=135°,四边形 ABFE 为圆内接四边 形,∴∠B=45°,∴∠FOA=90°, ∴AB⊥OF,∴DF∥AB; (2)解:如图,连接OE, ∵BF=22,∠FOB=90°,∴OB=OF=2. ∵OC=CE,CE⊥AB,OE=OF=2,∴CE= 2. ∵DC∥OF,DF∥AB,∴DC=OF=2. ∴DE=DC-CE=2- 2. 9.(1)解:∵∠CBA 和∠DOA 是同圆中同弧所 对的圆周角和圆心角,且∠CBA=50°, ∴∠DOA=2∠CBA=100°. (2)证明:如图,连接OE, 在△EAO 和△EDO 中,∵ AO=DO EA=ED, EO=EO{ ∴△EAO≌△EDO(SSS), ∴∠EAO=∠EDO=90°, ∴直线ED 与☉O 相切. 10.解:(1)如图,连接BD, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC 中, AC= AB2-BC2= 102-52=53(cm); ∵CD 平分∠ACB,∴AD=BD, ∴Rt△ABD 是等腰直角三角形, ∴AD= 2 2AB= 2 2×10=52 (cm); (2)直线PC 与☉O 相切. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· 理由:如图,连接OC. ∵OC=OA, ∴∠CAO=∠OCA. ∵PC=PE,∴∠PCE=∠PEC. ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE,CD 平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ECB, ∴∠PCB=∠ACO. ∵∠ACB=90°, ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB =∠ACB=90°,OC⊥PC, ∴直线PC 与☉O 相切. 11.(1)证明:连接OC,如图, ∵FC︵=BC︵, ∴∠FAC=∠BAC. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AF. ∵CD⊥AF, ∴OC⊥CD, ∴CD 是☉O 的切线; (2)解:连接BC,如图, ∵AB 为直径,∴∠ACB=90°. ∵AF︵=FC︵=CB︵,∴∠BOC=13×180°=60°, ∴∠BAC=30°,∴∠DAC=30°. 在Rt△ADC 中,CD=23,∴AC=2CD=43. 在Rt△ACB 中,BC= 3 3AC= 3 3×43=4 ,∴ AB=2BC=8,∴☉O 的半径为4. 12.(1)证明:∵AC 为直径, ∴∠ADC=90°,∴∠A+∠DCA=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠ACD=90°, ∴∠DCB=∠A. (2)解:当 MC=MD(或点 M 是BC 的中点)时, 直线DM 与☉O 相切. 连接DO,∵DO=CO,∴∠1=∠2. ∵DM=CM,∴∠4=∠3. ∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°, ∴直线DM 与☉O 相切. 13.解:(1)①连接CD,CE, ∵DE