第2章 专题特训六 与切线有关的证明与计算-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

9. (1) 如图①,过点P 作PD⊥AB 于点D. ∵ AB=5,BC=3,AC=4, ∴ AB2=BC2+AC2. ∴ ∠ACB=90°. ∴ PC⊥BC. ∵ BP 平 分 ∠ABC,PC ⊥BC, PD⊥AB, ∴ PC=PD. ∵ ☉P 经过点C, ∴ PC、PD 为☉O 的半径. 又∵ PD⊥AB, ∴ ☉P 与直线AB 相切. (2) 1或3. 解析:如图②,当☉P 同 时与直线BC、AC 相切时,点P 在 ∠ACB 或∠ACM 的平分线上.分两 种情况讨论:① 当圆心在△ABC 内 部,即☉P1 分别与BC、AC 相切于点 G、F 时,连接P1G、P1F,过点P1 作 P1E⊥AB 于 点 E.∵ 点 P1 在 ∠ABC 的 平 分 线 上,P1E ⊥AB, P1G⊥BC,∴ P1E=P1G.设P1G= P1F=P1E=r.连 接 AP1、CP1. ∵ P1G⊥BC,P1E⊥AB,P1F⊥AC, ∴ S△ABC = S△ABP1 + S△ACP1 + S△BCP1= 1 2AB ·P1E+ 1 2AC · P1F+ 1 2BC ·P1G= 1 2 (AB+ AC + BC ) · r. ∴ r = 2S△ABC AB+AC+BC= 2×12×3×4 5+4+3 =1. ② 当圆心在△ABC 外部,即☉P2 分 别与直线BC、AC相切于点M、N 时, 连接P2M、P2N,过点P2 作P2Q⊥ BA,交BA 的延长线于点Q.∵ 点P2 在∠ABC 的平分线上,P2M⊥BC, P2Q ⊥ AB,∴ P2M = P2Q.设 P2M=P2N=P2Q=R.连接AP2、 CP2.∵ P2M ⊥BC,P2Q ⊥AB, P2N⊥AC,∴ S△ABC =S△ABP2 + S△BCP2-S△ACP2= 1 2AB ·P2Q+ 1 2BC ·P2M - 1 2AC ·P2N = 1 2 (AB+BC-AC)·R.∴ R= 2S△ABC AB+BC-AC= 2×12×3×4 5+3-4 =3. 综上所述,☉P 的半径为1或3. (第9题) 专题特训六　与切线 有关的证明与计算 1. 如图,连接OE,过点O 作OF⊥ CD 于点F. ∵ BC切☉O 于点E, ∴ OE⊥BC,OE=OA. ∵ AC为正方形ABCD 的对角线, ∴ ∠ACB=∠ACD=45°. 又∵ OF⊥CD,OE⊥BC, ∴ OE=OF. ∴ OF 是☉O 的半径. 又∵ OF⊥CD, ∴ CD 是☉O 的切线. (第1题) 2. (1) ∵ 点E 与点D 关于AC对称, ∴ CE=CD. ∴ ∠CDE=∠E. ∵ DF⊥DE, ∴ ∠CDF=90°-∠CDE=90°- ∠E=∠F. ∴ CD=CF. ∴ CE=CF. (2) 如图,连接OC. ∵ OA=OC, ∴ ∠OCA=∠CAB=30°. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠DCA=60°. ∵ 点E 与点D 关于AC对称, ∴ ∠ECA=∠DCA=60°. ∴ ∠ECO=∠ECA+∠OCA=60°+ 30°=90°. 又∵ OC为☉O 的半径, ∴ EF 为☉O 的切线. (第2题) 3. 如图,连接OD、OB. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA. ∴ ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠BAC. ∵ ∠E=2∠BAC, ∴ ∠E=∠BOC. ∴ DE∥OB. ∴ ∠ODE+∠DOB=180°. ∵ ∠DAB=45°, ∴ ∠DOB=2∠DAB=90°. ∴ ∠ODE=90°. ∴ OD⊥DE. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 与☉O 相切. (第3题) 4. (1) 连接OC. ∵ DC是☉O 的切线, ∴ OC⊥DC. ∵ BE⊥DC, ∴ OC∥BE. ∴ ∠OCB=∠CBE. ∵ OC=OB, ∴ ∠OCB=∠OBC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∴ ∠OBC=∠CBE,即BC是∠ABE 的平分线. (2) 设☉O 的半径为r,则 OD= r+4. 在Rt△OCD 中,OD2=OC2+CD2, 即(r+4)2=r2+82,解得r=6. ∴ AB=2r=12. 5. (1) 如图,连接OD. ∵ AB=AC, ∴ ∠C=∠OBD. ∵ OD=OB, ∴ ∠ODB=∠OBD. ∴ ∠ODB=∠C. ∴ OD∥AC. ∵ EF 是☉O 的切线, ∴ EF⊥OD. ∴ EF⊥AC. (2) 如图,连接AD. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. 又∵ AB=AC,且BC=6, ∴ CD=BD=12BC=3. 在Rt△ACD 中,AC=AB=5,CD= 3,根 据 勾 股 定 理,得 AD = AC2-CD2=4. 又∵ S△ACD= 1 2AC ·DE=12AD · CD,即12×5×DE= 1 2×4×3 , ∴ DE=125. (第5题) 6. (1) 如图,连接OE. ∵ EF⊥AC, ∴ ∠EFD=∠EFC=90°. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∵ OB=OE, ∴ ∠B=∠OEB. ∴ ∠OEB=∠C. ∴ OE∥AC. ∴ ∠OEF=∠EFC=90°. ∴ OE⊥EF. ∵ OE 是☉O 的半径, ∴ EF 是☉O 的切线. (2) 如图,过点O 作OG⊥AD,垂足 为G,则∠OGF=90°. ∵ ∠OEF=∠EFG=90°, ∴ 四边形OEFG 是矩形. ∴ OG=EF=3. 设☉O 的半径为x. ∴ AB=AC=2x. ∵ CD=4, ∴ AD=AC-CD=2x-4. ∵ OG⊥AD, ∴ AG=12AD=x-2. 在Rt△OAG 中,AG2+OG2=OA2, ∴ (x-2)2+9=x2. ∴ x=134. ∴ ☉O 的半径为134. (第6题) 7. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C. ∵ AD=CD, ∴ ∠DAC=∠C. ∴ ∠ABC=∠DAC. ∵ ∠AED=∠ABD, ∴ ∠AED=∠CAD. ∵ AE 是☉O 的直径, ∴ ∠ADE=90°. ∴ ∠AED+∠EAD=90°. ∴ ∠CAD + ∠EAD = 90°,即 ∠EAC=90°. ∴ OA⊥AC. ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AC是☉O 的切线. (2) 如图,过点D 作DF⊥AC 于点 F,过点 D 作DM⊥AE 于点M,则 ∠AFD=∠AMD=∠EAC=90°. ∴ 四边形AMDF 是矩形. ∴ MD=AF. ∵ AD=CD,DF⊥AC, ∴ AF=CF. ∴ AC=2AF=2MD. 在Rt△ADE 中,AE=10,AD=8, ∴ ED = AE2-AD2 = 102-82=6. ∵ S△ADE = 1 2 AE · MD = 1 2ED ·AD, ∴ MD=AD ·ED AE = 24 5. ∴ AC=2MD=485. (第7题) 8. (1) 连接OE,则OE=OD. ∴ ∠OED=∠ODE. ∵ ∠ODE=∠BDC, ∴ ∠OED=∠BDC. ∵ CE=BC, ∴ ∠CEB=∠CBE. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠OEC = ∠OED + ∠CEB = ∠BDC+∠CBE=90°. ∴ CE⊥OE. ∵ OE 是☉O 的半径, ∴ CE 是☉O 的切线. (2) ∵ ∠OEC=90°, ∴ OE2+CE2=OC2. ∵ CD=2,BC=4,OE=OD, ∴ CE=BC=4,OC=OD+CD= OD+2. ∴ OD2 +42 = (OD +2)2,解 得 OD=3. ∴ AD=2×3=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∴ AC=AD+CD=6+2=8. ∴ AC的长是8. 专题特训七　圆中 常用的辅助线作法 1. 84° 14° 解析:∵ AB=AC= AD,∴ 点B、C、D 在以点A 为圆心、 AB 长 为 半 径 的 圆 上 (如 图). ∵ ∠DBC = 42°,∴ ∠CAD = 2∠DBC=84°.∵ ∠CAD=3∠BAC, ∴ ∠BAC = 13 ∠CAD = 28°. ∵ ∠BDC=12∠BAC ,∴ ∠BDC= 1 2×28°=14°. (第1题) 2. (1) DM=MN;DM⊥MN. (2) 连接AE. ∵ M 是AF 的中点,N 是EF 的 中点, ∴ MN 是△AEF 的中位线. ∴ MN=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠B=90°,AD=AB= BC=CD. ∵ 在Rt△ADF中,M 是AF的中点, ∴ DM=12AF=AM=MF. 由题 意,知△ECF 是 等 腰 直 角 三 角形, ∴ FC=EC. ∴ CD-FC=BC-EC,即 DF= BE. 在△ADF 和△ABE 中, AD=AB, ∠ADF=∠B, DF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ABE. ∴ AF=AE. ∴ MN=12AF. ∴ MN=DM=AM=MF. ∴ 点A、N、F、D 在以点M 为圆心、 1 2AF 的长为半径的圆上. 连 接 AN,则 易 得 ∠NAD + ∠DFN=180°. 又∵ ∠DFN+∠NFC=180°, ∴ ∠NAD=∠NFC=45°. ∴ ∠NMD=2∠NAD=90°. ∴ DM⊥MN. (3) (1)中的两个结论还成立. 连接AE,交DM 于点G. ∵ M 是AF 的中点,N 是EF 的 中点, ∴ MN 是△AEF 的中位线. ∴ MN=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠B=90°,AD=AB= BC=CD. ∵ 在Rt△ADF中,M 是AF的中点, ∴ DM=12AF=AM=MF. 由(2)同理,可证△ADF≌△ABE. ∴ AF=AE. ∴ MN=12AF. ∴ MN=DM=AM=MF. ∴ 点A、F、N、D 在以点M 为圆心、 1 2AF 的长为半径的圆上. ∴ 易得∠NMD=2∠NFD=90°. ∴ DM⊥MN. 构造辅助圆解决问题的 一般方法 当条件中出现两个或两个以 上的点到某一定点的距离相等时, 我们可以尝试以这个定点为圆心、 各点到定点的距离为半径构造一 个圆,这样可以在问题的条件与结 论之间架设新的桥梁,从而使解题 思路“柳暗花明”. 3. (1) 如图,作△BDC 的外接圆,延 长DE 交圆于点F,连接CF、AF,则 ∠CBD=∠CFD=30°. ∵ DE 垂直平分AC, ∴ AF=FC. ∴ ∠AFE=∠CFE=30°. ∴ ∠AFC=60°. ∴ △AFC是等边三角形. ∴ AF=AC. ∵ AB=AC, ∴ AF=AC=AB. ∴ 点A 为所作圆的圆心. ∴ AB=AD. (2) ① 若 PA=PB,则∠BAP= ∠ABC. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠DAC=2∠CBD=60°, ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠ACB = 60°+∠ACB. ∴ ∠APB=60°+∠ABC. ∵ ∠ABC + ∠BAP + ∠APB = 180°, ∴ 3∠ABC +60°=180°,解 得 ∠ABC=40°. ② 若BA=BP,同理,可得∠ABC=20°. ③ 若AB=AP,此时点P 与点C 重 合,则点D 与点E 重合,不合题意, 舍去. 综上所述,当△ABP 是等腰三角形 时,∠ABC的度数为40°或20°. (第3题) 4. (0,12)或(0,-12) 解析:设线段 AB 的中点为E.∵ A(4,0)、B(-6, 0),∴ AB=10,E(-1,0).∴ OE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 56 　 　　专题特训六　与切线有关的证明与计算 ▶ “答案与解析”见P31 类型一 无已知点证切线———作垂直,证半径 1. 如图,O 为正方形ABCD 的对角线上一点, 以点O 为圆心、OA 长为半径的☉O 与BC 相切于点E.求证:CD 是☉O 的切线. (第1题) 类型二 有已知点证切线———连半径,证垂直 2. 如 图,点 C 在 以 AB 为 直 径 的☉O 上, ∠CAB=30°,点D 在AB 上由点B 开始向 点A 运动,点E 与点D 关于AC 对称,DF⊥ DE 于点D,交EC 的延长线于点F. (1) 求证:CE=CF. (2) 若CD⊥AB,求证:EF 为☉O 的切线. (第2题) 3. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, AC 是☉O 的直径,延长AC 与过点D 的直 线相交于点E,已知∠E=2∠BAC,∠DAB= 45°.求证:DE 与☉O 相切. (第3题) 类型三 连切点,构造垂直求值 4. 如图,AB 是☉O 的直径,点D 在射线BA 上,DC 与☉O 相切于点C,过点B 作BE⊥ DC,交DC 的延长线于点E,连接BC. (1) 求证:BC 是∠ABE 的平分线. (2) 若DC=8,DA=4,求AB 的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 57 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径 的☉O 交BC 于点D,过点D 的切线交AC 于点E,交AB 的延长线于点F. (1) 求证:EF⊥AC. (2) 当AB=5,BC=6时,求DE 的长. (第5题) 类型四 连半径,证切线,再求值 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径 的☉O 与AC、BC 分别交于点D 和点E,过 点E 作EF⊥AC,垂足为F. (1) 求证:EF 是☉O 的切线. (2) 若CD=4,EF=3,求☉O 的半径. (第6题) 7. 如图,AE 是☉O 的直径,AB 是☉O 的弦,AB=AC,连接BC 与☉O 相 交于点D,连接AD、DE,AD=CD. (1) 求证:AC 是☉O 的切线. (2) 若AE=10,AD=8,求AC 的长. (第7题) 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D 为边AC 上的点,以AD 为 直径作☉O,连接BD 并延长,交 ☉O 于点E,连接CE,CE=BC. (1) 求证:CE 是☉O 的切线. (2) 若CD=2,BC=4,求AC 的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆